Квадрат теңдеудің түбірлерін табыңыз
\(\displaystyle -x^2+\sqrt{x+4}=\sqrt{x+4}+10x+21{\small . }\)
(Егер түбірлер екіден аз болса, соңғы ұяшықты бос қалдырыңыз.)
Иррационал теңдеу берілген. Демек, алдымен оның жарамды мәндер ауқымын табу керек.
Түбірді тек теріс емес сандардан алуға болады, сонда
\(\displaystyle x+4\geqslant0{\small,}\)
\(\displaystyle x\geqslant-4{\small.}\)
Теңдеуді шешуге көшейік.
Барлық қосылғыштарды сол жақ бөлікке ауыстырайық:
\(\displaystyle -x^2+\sqrt{x+4}-\sqrt{x+4}-10x-21=0{\small . }\)
Түбірі бар қосылғыштар қысқарады:
\(\displaystyle -x^2+\cancel{\sqrt{x+4}}-\cancel{\sqrt{x+4}}-10x-21=0{\small, }\)
\(\displaystyle -x^2-10x-21=0{\small. }\)
Алынған квадрат теңдеуді шешейік.
Ережені қолданайық:
Квадрат теңдеудің түбірлері
\(\displaystyle \color{blue}{ a}x^2+\color{green}{ b}x+\color{red}{ c}=0\)
\(\displaystyle {\rm D}=\color{green}{ b}^2-4\color{blue}{ a}\color{red}{ c}\)
\(\displaystyle x_1=\frac{-\color{green}{ b}+\sqrt{\rm D}}{2\color{blue}{ a}}\)
\(\displaystyle x_1=\frac{-\color{green}{ b}-\sqrt{\rm D}}{2\color{blue}{ a}}\)
Теңдеуді оның коэффициенттерін бөліп жазайық:
\(\displaystyle -x^2-10x-21=\color{blue}{ -1}\cdot x^2\color{green}{ -10}x\color{red}{ -21}{\small . }\)
Сонда \(\displaystyle \color{blue}{ a}=\color{blue}{ -1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ -10}, \color{red}{ c}=\color{red}{ -21}{\small .} \)
Сол себепті
\(\displaystyle {\rm D}= (\color{green}{ -10})^2-4\cdot (\color{blue}{ -1})\cdot (\color{red}{ -21})=100-84=16\)
және
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 16}=4{\small .} \)
Демек, теңдеудің түбірлері тең
\(\displaystyle x_1=\frac{-(-10)+\sqrt{16}}{-2}=\frac{ 10+4}{ -2 }=-7{\small ,}\)
\(\displaystyle x_2=\frac{-(-10)-\sqrt{16}}{-2}=\frac{ 10-4}{ -2 }=-3{\small .}\)
Түбірлер бастапқы теңдеудің жарамды мәндерінің ауқымына енетінін тексереміз.
- \(\displaystyle -7\) саны \(\displaystyle -4\) кем, демек \(\displaystyle x_1=-7\) түбірі теңдеудің жарамды мәндері ауқымында жатпайды.
- \(\displaystyle -3\) саны \(\displaystyle -4\) кем емес, демек \(\displaystyle x_2=-3\) түбірі теңдеудің жарамды мәндері ауқымында жатыр.
Жауабы: \(\displaystyle -3{\small .} \)