Skip to main content

Теориясы: Бетінің ауданы

Тапсырма

Цилиндрдің биіктігі \(\displaystyle 5\), ал оның \(\displaystyle ABCD\) осьтік қимасының \(\displaystyle BD\) диагоналы \(\displaystyle 13\) тең. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданын \(\displaystyle {S_{бүйір}}{\small }\) табыңыз. Жауапта \(\displaystyle \frac{S_{бүйір}}{\pi}{\small}\) көрсетіңіз. 

Шешім

Шарт бойынша

  • \(\displaystyle ABCD\) – цилиндрдің осьтік қимасы,
  • цилиндрдің биіктігі \(\displaystyle 5{\small}\) тең.
  • осьтік қиманың диагоналы  \(\displaystyle BD=13{\small .}\)

Төмендегіні табу қажет 

цилиндрдің бүйір бетінің ауданы \(\displaystyle S_{бүйір}{\small .}\)   

 

Цилиндрдің бүйір бетінің ауданын екі шаманы білу арқылы табуға болады: табан радиусы \(\displaystyle r\) және биіктігі \(\displaystyle h\).         

Жадынама. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданы.
 

Правило

Цилиндрдің бүйір бетінің ауданы

\(\displaystyle S_{бүйір}=\color{Magenta}{2\pi r}\cdot \color{Blue}{h} { \small } \)

Цилиндрдің биіктігі берілген. Табанның радиусын табыңыз.


Цилиндрдің осьтік қимасын қарастырайық.

Келесі фактіні қолданайық:

Информация

Цилиндрдің осьтік қимасы тіктөртбұрыш болып табылады. Бұл ретте:

  • тіктөртбұрыштың екі қарама-қарсы қабырғасы – цилиндр жасаушысы,
  • тіктөртбұрыштың қалған екі қабырғасы – цилиндр табандарының диаметрлері.

Осылайша, төртбұрыш \(\displaystyle ABCD\) тіктөртбұрыш болып табылады.   

Оның іргелес қабырғалары – бұл цилиндр табанының диаметрі \(\displaystyle AD\) және цилиндрдің жасаушысы \(\displaystyle AB\).      

  • Цилиндр табанының диаметрі \(\displaystyle AD\) радиустың екі еселенгеніне тең:

\(\displaystyle AD=2r{\small .}\)

  • Цилиндр жасаушысының ұзындығы \(\displaystyle AB\) цилиндрдің биіктігіне тең:

\(\displaystyle AB=5{\small .}\)

 

Диаметрі \(\displaystyle AD\) демек, цилиндр табанының радиусын тікбұрышты үшбұрыштан \(\displaystyle ABD\) табамыз.      

\(\displaystyle r=6 {\small} \)
 

\(\displaystyle BD=13\) бұл катеттері \(\displaystyle AD=2r\) және \(\displaystyle AB=5\) болатын тікбұрышты үшбұрыштың \(\displaystyle ABD\) гипотенузасы болып табылады.   

Пифагор теоремасы бойынша

\(\displaystyle BD^2=AD^2+AB^2{ \small,} \)

\(\displaystyle 13^2=(2r)^2+5^2{ \small ,} \)

\(\displaystyle 169=4r^2+25{ \small .}\)

\(\displaystyle 4r^2=144{ \small .}\)

\(\displaystyle r^2=36{ \small .}\)

Осы жерден

\(\displaystyle r=6\) немесе \(\displaystyle r=-6{ \small .}\)

Бірақ цилиндр табанының радиусы кесіндінің ұзындығы ретінде тек оң мәндерді қабылдай алады.
Сондықтан:

\(\displaystyle r =6{ \small .} \)

Сонымен, цилиндрдің \(\displaystyle r\) радиусы \(\displaystyle 6\) тең, цилиндрдің биіктігі \(\displaystyle h\) шарт бойынша берілген және \(\displaystyle 5\) тең.

Бұл мәндерді бүйір бетінің ауданы формуласына қояйық: 

\(\displaystyle S_{бүйір}=2\pi r \cdot h{\small .}\)

Төмендегіні аламыз:

\(\displaystyle S_{бүйір}=2\pi \cdot 6 \cdot 5=60\pi{\small .}\)

Жауапта \(\displaystyle \frac{S_{бүйір}}{\pi}{\small ,}\) яғни \(\displaystyle 60\) көрсету қажет.     

Жауабы:  \(\displaystyle 60{\small .}\)