Четырёхугольник \(\displaystyle ABCD\) вписан в окружность, \(\displaystyle K\) – точка пересечения его диагоналей. Найти угол \(\displaystyle AKD \small,\) если \(\displaystyle \angle ACD =50^{\circ}\) и \(\displaystyle \angle CAB = 35^{\circ} \small.\) Ответ дайте в градусах.
Вписанные углы \(\displaystyle \angle ACD\) и \(\displaystyle \angle CAB\) опираются на дуги \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle CB \) соответственно.
Поскольку вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается, то
\(\displaystyle \angle ACD=\frac{1}{2} \overset{\smile}{AD} \small,\) \(\displaystyle \angle CAB=\frac{1}{2} \overset{\smile}{CB} \small.\)
Тогда
\(\displaystyle \overset{\smile}{AD}=2\angle ACD=100^{\circ} \small,\) \(\displaystyle \overset{\smile}{CB}=2\angle CAB=70^{\circ} \small.\)
По теореме об угле между пересекающимися хордами
Угол между пересекающимися хордами
Величина угла между пересекающимися хордами равна полусумме заключенных между ними дуг.
получаем:
\(\displaystyle \angle AKD=\frac{1}{2} \overset{\smile}{AD}+\frac{1}{2} \overset{\smile}{CB}=50^{\circ}+35^{\circ}=85^{\circ} \small.\)
Ответ: \(\displaystyle 85 {\small .}\)