Skip to main content

Теориясы: 01 Квадрат теңсіздік пен сызықтық теңсіздік жүйелерінің пара-парлығы

Тапсырма

Квадраттық теңсіздікке тең сызықтық теңсіздіктер жүйесін жазыңыз

\(\displaystyle -6x^2+6x+336\ge0{\small.}\)

\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \)
\(\displaystyle x\),
\(\displaystyle x\)

немесе

\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \)
\(\displaystyle x\),
\(\displaystyle x\).

 

Шешім

Жалпы көбейткішті жақшадан шығарайық:

\(\displaystyle -6x^2+6x+336=-6(x^2-x-56){\small .} \)

Теңсіздік алынды \(\displaystyle -6(x^2-x-56)\ge0{\small .} \)

Бұл теңсіздікті оның екі бөлігін \(\displaystyle -6{\small } \) бөлу арқылы жеңілдетейік. Бұл жағдайда теңсіздік белгісін керісінше өзгертеміз:

\(\displaystyle \color{blue}{ -6}(x^2-x-56)\ge0 \,| : (\color{blue}{ -6})\)

\(\displaystyle x^2-x-56\le0{\small .} \)


Квадраттық үшмүшені \(\displaystyle x^2-x-56\) көбейткіштерге бөлейік.

\(\displaystyle x^2-x-56=(x-8)(x+7) \)

Коэффициенттерді бөліп көрсетейік:

\(\displaystyle x^2-x-56=x^2-1\cdot x-56=\color{red}{ 1}\cdot x^2\color{green}{ -1}\cdot x\color{blue}{ -56}{\small .}\)

Онда  \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ -1}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -56}{\small .} \)

Осы үшмүшемен квадраттық теңдеу құрайық:

\(\displaystyle x^2-x-56=0{ \small ,} \)

және оның түбірін табайық.

Дискриминантты есептеймізОнда

\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{(-1)}^2-4\cdot (\color{blue}{ -56})=1+224=225\)
және
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 225}=15{\small .} \)

Теңдеудің түбірін табамыз:

\(\displaystyle x_1= \frac{-(-1)+15}{2}=\frac{16}{2}=8{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2= \frac{-(-1)-15}{2}=\frac{-14}{2}=-7{\small .}\)

Енді ережені пайдаланып үшмүшені көбейткіштерге жіктейік.

Правило

Көбейткіштерге жіктеу

\(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=\color{red}{ a}(X-x_1)(X-x_2){ \small ,}\)

мұнда  \(\displaystyle x_1 \) және \(\displaystyle x_2 \) – квадраттық теңдеу түбірі    \(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=0{\small .}\)

Біздің жағдайда үлкен коэффициент   \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) ал түбір   \(\displaystyle 8\) және   \(\displaystyle -7{\small } \) тең.

Демек,

\(\displaystyle x^2-x-56=\color{red}{ 1}\cdot (x-8)(x-(-7))=(x-8)(x+7) {\small .}\)

Демек, \(\displaystyle x^2-x-56\le0 \) теңсіздік келесі теңсіздіктен асады

\(\displaystyle (x-8)(x+7)\le0{\small .}\)


Біз оны эквивалентті сызықтық теңсіздіктер жүйесі ретінде жазамыз.

Теңсіздіктің барлық шешімі   \(\displaystyle (x-8)(x+7)\le0\) шығады, егер

  • немесе  \(\displaystyle x-8\ge0{ \small ,}\, x+7\le0\) – бірінші көбейткіш теріс емес, екіншісі оң емес;
  • немесе  \(\displaystyle x-8\le0{ \small ,}\, x+7\ge0\) – бірінші көбейткіш оң емес, екіншісі теріс емес.

Егер бұл жүйелер түрінде қайта жазылса, біз аламыз:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-8&\ge0{ \small ,}\\x+7 &\le 0\end{aligned}\right.\)   немесе   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-8&\le 0{ \small ,}\\x+7& \ge0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Барлық сандарды барлық теңсіздіктерде оңға жылжыту арқылы біз іздеген жауапты аламыз:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\ge8{ \small ,}\\x &\le -7\end{aligned}\right.\)   немесе   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le 8{ \small ,}\\x& \ge -7{\small .}\end{aligned}\right.\)