Skip to main content

Теориясы: 01 Квадрат теңсіздік пен сызықтық теңсіздік жүйелерінің пара-парлығы

Тапсырма

Квадраттық теңсіздікке тең сызықтық теңсіздіктер жүйесін жазыңыз

\(\displaystyle -2x^2+2x+12\le 0{\small.}\)

\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \)
\(\displaystyle x\),
\(\displaystyle x\)

немесе

\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[10px] 1 \end{aligned}} \right. \)
\(\displaystyle x\),
\(\displaystyle x\).

 

Шешім

Жалпы көбейткішті жақшадан шығарайық:

\(\displaystyle -2x^2+2x+12=-2(x^2-x-6){\small .} \)

Теңсіздің пайда болды  \(\displaystyle -2(x^2-x-6)\le 0{\small .} \)

Бұл теңсіздікті оның екі бөлігін \(\displaystyle -2{\small } \) бөлу арқылы жеңілдетіңіз. Бұл жағдайда теңсіздік белгісін керісінше өзгертеміз:

\(\displaystyle \color{blue}{ -2}(x^2-x-6)\le 0 \,| : (\color{blue}{ -2})\)

\(\displaystyle x^2-x-6\ge 0{\small .} \)


Квадраттық үшмүшені  \(\displaystyle x^2-x-6 \) көбейткіштерге бөлейік.

\(\displaystyle x^2-x-6=(x-3)(x+2) \)

Коэффициенттерді бөліп көрсетейік:

\(\displaystyle x^2-x-6=x^2-1\cdot x-6=\color{red}{ 1}\cdot x^2\color{green}{ -1}\cdot x\color{blue}{ -6}{\small .}\)

Онда  \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ -1}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -6}{\small .} \)

Осы үшмүшемен квадраттық теңдеу құрайық:

\(\displaystyle x^2-x-6=0{ \small ,} \)

және оның түбірін табайық.

Дискриминантты есептеймізОнда

\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{(-1)}^2-4\cdot (\color{blue}{ -6})=1+24=25\)
және
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 25}=5{\small .} \)

Теңдеудің түбірін табамыз:

\(\displaystyle x_1= \frac{-(-1)+5}{2}=\frac{6}{2}=3{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2= \frac{-(-1)-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2{\small .}\)

Енді ережені пайдаланып үшмүшені көбейткіштерге жіктейік.

Правило

Көбейткіштерге жіктеу

\(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=\color{red}{ a}(X-x_1)(X-x_2){ \small ,}\)

мұнда  \(\displaystyle x_1 \) және \(\displaystyle x_2 \) – квадраттық теңдеу түбірі    \(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=0{\small .}\)

Біздің жағдайда үлкен коэффициент   \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) ал түбір   \(\displaystyle 3\) және \(\displaystyle -2{\small } \) тең.

Демек,

\(\displaystyle x^2-x-6=\color{red}{ 1}\cdot (x-3)(x-(-2))=(x-3)(x+2) {\small .}\)

Демек, \(\displaystyle x^2-x-6\ge 0 \) теңсіздік келесі теңсіздікке айналады

\(\displaystyle (x-3)(x+2)\ge 0{\small .}\)


Біз оны эквивалентті сызықтық теңсіздіктер жүйесі ретінде жазамыз.

Барлық теңсіздік шешімдері  \(\displaystyle (x-3)(x+2)\ge 0\) шығады, егер

  • немесе  \(\displaystyle x-3\ge 0{ \small ,}\, x+2\ge 0\) – екі көбейткіш те теріс емес;
  • немесе  \(\displaystyle x-3\le 0{ \small ,}\, x+2\le 0\) – екі көбейткіш те оң емес.

Егер бұл жүйелер түрінде қайта жазылса, біз аламыз:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&\ge 0{ \small ,}\\x+2 &\ge 0\end{aligned}\right.\)   немесе   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&\le 0{ \small ,}\\x+2& \le 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Барлық сандарды барлық теңсіздіктерде оңға жылжыту арқылы біз іздеген жауапты аламыз:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\ge 3{ \small ,}\\x &\ge -2\end{aligned}\right.\)   немесе   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le 3{ \small ,}\\x& \le -2{\small .}\end{aligned}\right.\)