Ортақ көбейткішті шығарып, алынған өрнекті көбейткіштерге жіктеңіз:
Алдымен ортақ көбейткішті табайық.
1. Сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгішін табайық:
- \(\displaystyle 54=2\cdot 3^3\)
- \(\displaystyle 36=2^2\cdot 3^2\)
- \(\displaystyle 63=3^2\cdot 7\)
- \(\displaystyle 42=2\cdot 3\cdot 7\)
Жай көбейткіштерге жіктеуден ең үлкен ортақ бөлгіш \(\displaystyle 3{\small }\) тең екендігі шығады.
2. \(\displaystyle x^{\,9}y^{\,13}z^{\,20}, \, x^{\,3}y^{\,11}z^{\,12}, \, x^{\,6}y^{\,5}z^{\,14}\) және \(\displaystyle y^{\,3}z^{\,6}\) өрнектеріндегі ең кіші дәреже көрсеткіші бар ортақ айнымалыларды таңдайық, – бұл \(\displaystyle y^{\,3}\) және \(\displaystyle z^{\,6} {\small .}\)
Осылайша, ортақ көбейткіш \(\displaystyle 3y^{\,3}z^{\,6}{\small }\) тең Оны жақшаның сыртына шығарайық:
\(\displaystyle 54x^{\,9}y^{\,13}z^{\,20}+36x^{\,3}y^{\,11}z^{\,12}-63x^{\,6}y^{\,5}z^{\,14}-42y^{\,3}z^{\,6}=\)
\(\displaystyle =3y^{\,3}z^{\,6}\,(18x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}+12x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}-21x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-14){\small .}\)
Берілген өрнектен әрбір айнымалы өрнектің үш мүшесінде кездесетінін көруге болады, сондықтан біз мүшелердің дәл жартысында, яғни екі рет кездесетін айнымалыны таңдай алмаймыз . Бұл жағдайда кез-келген айнымалыны таңдаймыз, мысалы, \(\displaystyle y\):
\(\displaystyle 18x^{\,9}\color{red}{y^{\,10}}z^{\,14}+12x^{\,3}\color{red}{y^{\,8}}z^{\,6}-21x^{\,6}\color{red}{y^{\,2}}z^{\,8}-14{\small .}\)
Ең үлкен дәрежеде \(\displaystyle y\) айнымалысы бар мүшені (бұл \(\displaystyle 18x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}\)) және берілген айнымалыны қамтитын кез – келген басқа мүшені (мысалы, \(\displaystyle 12x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}\)) бір
\(\displaystyle (18x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}+12x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6})+(-21x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-14) {\small .}\)
Бірінші жақшадағы \(\displaystyle (18x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}+12x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}) {\small }\) өрнегінің ортақ көбейткішін табайық
- Сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгіші \(\displaystyle ЕҮОБ(18,12)=6 {\small .}\)
- \(\displaystyle x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}\) және \(\displaystyle x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}\) өрнектеріндегі ең кіші дәреже көрсеткіші бар ортақ айнымалыларды таңдайық, – бұл \(\displaystyle x^{\,3}, \, y^{\,8}\) және \(\displaystyle z^{\,6} {\small .}\)
Яғни, \(\displaystyle (18x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}+12x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6})\) үшін ортақ көбейткіш \(\displaystyle 6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6} {\small }\) тең Оны жақшаның сыртына шығара отырып, бізде :
\(\displaystyle 18x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}+12x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}=6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}\,(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2) {\small .}\)
Әрі қарай екінші жақшадағы \(\displaystyle (-21x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-14) {\small .}\) өрнегінің ортақ көбейткішін табайық. Соңғы қосылғыш сан болғандықтан, тек ортақ сандық көбейткішті шығаруға болады.
Сандық коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгіш \(\displaystyle ЕҮОБ(21,14)=7{\small .}\)
Яғни, \(\displaystyle (-21x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-14)\) үшін ортақ көбейткіш \(\displaystyle 7 {\small }\) тең Оны жақшаның сыртына шығара отырып, бізде :
\(\displaystyle -21x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-14=7(-3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-2){\small .}\)
Бастапқы өрнекке орала отырып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle \begin{aligned}(18x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}+12x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6})&+(-21x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-14)=\\&=6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}\,(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)+7(-3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-2){\small .}\end{aligned}\)
\(\displaystyle (3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)\) және \(\displaystyle (-3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-2)\) көбейткіштері тек таңбамен ерекшеленетінін ескерейік, яғни
\(\displaystyle (-3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-2)=-(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2) {\small .}\)
Сондықтан \(\displaystyle (-3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-2)\) көбейткішін \(\displaystyle -(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)\) алмастырамыз:
\(\displaystyle \begin{array}{l}6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}\,(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)+7\,\color{red}{(-3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-2)}= \\[10px]\kern{6em} =6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}\,(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)+7\,\color{red}{\Big(-(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)\Big)}= \\[10px]\kern{12em} =6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}\,(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)-7\,(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2) {\small .}\end{array}\)
Енді өрнектің екі бөлігінде де \(\displaystyle (3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2) {\small }\) ортақ көбейткіші бар екенін ескерейік Яғни, оны да жақшаның сыртына шығаруға болады:
\(\displaystyle 6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}\,\color{blue}{(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)}-7\,\color{blue}{(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)}=\color{blue}{(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)} (6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}-7) {\small .}\)
Осылайша,
\(\displaystyle 54x^{\,9}y^{\,13}z^{\,20}+36x^{\,3}y^{\,11}z^{\,12}-63x^{\,6}y^{\,5}z^{\,14}-42y^{\,3}z^{\,6}=\)
\(\displaystyle ={\bf 3}{\pmb y}^{\,{\bf 3}}{\pmb z}^{\,{\bf 6}}\,(18x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}+12x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}-21x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-14)=\)
\(\displaystyle ={\bf 3}{\pmb y}^{\,{\bf 3}}{\pmb z}^{\,{\bf 6}}\,({\bf 3}{\pmb x}^{\,{\bf 6}}{\pmb y}^{\,{\bf 2}}{\pmb z}^{\,{\bf 8}}+{\bf 2})({\bf 6}{\pmb x}^{\,{\bf 3}}{\pmb y}^{\,{\bf 8}}{\pmb z}^{\,{\bf 6}}-{\bf 7}) {\small .}\)
Жауабы: \(\displaystyle 3y^{\,3}z^{\,6}(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)(6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}-7){\small .}\)