Ауыстыру әдісін қолдана отырып, сызықтық теңдеулер жүйесін шешіңіз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x+5y=&15{\small ,}\\3x-8y=&7{\small .}\end{aligned}\right.\)
Бірінші теңдеуден \(\displaystyle x\) өрнектеңіз:
\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\ {\small \frac{5}{3}} \end{aligned}} \right. \) | \(\displaystyle x=\) |
| \(\displaystyle 3x-8y=7{\small ,}\) |
Сызықтық теңдеулер жүйесі берілген:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x+5y=&15{\small ,}\\3x-8y=&7{\small .}\end{aligned}\right.\)
Ауыстыру әдісін қолдану үшін айнымалылардың бірін екіншісі арқылы өрнектеу керек.
\(\displaystyle x\) айнымалысын \(\displaystyle y\, \)арқылы өрнектеу үшін жүйенің бірінші теңдеуін қолданамыз:
\(\displaystyle \begin{array}{c}2x+5y=15{\small ,}\\2x=-5y+15{\small ,}\\(2x\,):2=(-5y+15):2{\small ,}\\[10px]x={\bf -\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}}{\small .}\end{array}\)
Әрі қарай, бастапқы жүйеде
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{2x+5y=}&{15}{\small ,}\\3x-8y=&7\end{aligned}\right.\)
бірінші \(\displaystyle \color{blue}{2x+5y=15}\) теңдеуін \(\displaystyle \color{green}{x=-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}}\) алмастырамыз. Содан кейін
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&\color{green}{x={\small -\frac{5}{2}}y+{\small \frac{15}{2}}}{\small ,}\\&3x-8y=7{\small .}\end{aligned}\right.\)
Енді \(\displaystyle \color{green}{x}=\color{green}{-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}}{\small,} \) белгілі болғандықтан, екінші сызықтық теңдеуде \(\displaystyle \color{green}{x} \) орнына \(\displaystyle -\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}\) қоюға болады (алмастыру әдісі):
\(\displaystyle \begin{array}{rl}\left\{\vphantom{\begin{aligned}1\\{\small \frac{5}{3}}\end{aligned}}\right.&\kern{-1.5em}\begin{aligned}&\color{green}{x}=\color{green}{-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}}{\small ,}\\&3\cdot \left({\small -\frac{5}{2}}y+{\small \frac{15}{2}}\right)-8y=7{\small .}\end{aligned}\end{array}\)
Екінші теңдеу - бұл бір айнымалы \(\displaystyle y\, \) - тан шығатын сызықтық теңдеу болатын жүйені аламыз:
\(\displaystyle 3\cdot \left(-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}\right)-8y=7{\small .}\)
Оны \(\displaystyle y\,\)табу үшін шешеміз:
\(\displaystyle \begin{array}{c}3\cdot \left(-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}\right)-8y=7{\small ,}\\[10px]-3\cdot \frac{5}{2}y+3\cdot\frac{15}{2}-8y=7{\small ,}\\[10px]-\frac{15}{2}y+\frac{45}{2}-8y=7{\small ,}\\[10px]-\frac{15}{2}y-8y=-\frac{45}{2}+7{\small ,}\\[10px]-\frac{31}{2}y=-\frac{31}{2}{\small ,}\\y=1{\small .}\end{array}\)
Әрі қарай жүйеде
\(\displaystyle \begin{array}{rl}\left\{\vphantom{\begin{aligned}1\\{\small \frac{5}{3}}\end{aligned}}\right.&\kern{-1.5em}\begin{aligned}&x={\small -\frac{5}{2}}y+{\small \frac{15}{2}}{\small ,}\\&\color{blue}{3\cdot \left({\small -\frac{5}{2}}y+{\small \frac{15}{2}}\right)-8y=7}\end{aligned}\end{array}\)
екінші \(\displaystyle \color{blue}{3\cdot \left(-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}\right)-8y=7}\) сызықтық теңдеуін \(\displaystyle \color{green}{y=1}\) алмастырамыз.
Біз аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x={\small -\frac{5}{2}}y+{\small \frac{15}{2}}{\small ,}\\&\color{green}{y=1}{\small .}\end{aligned}\right.\)
Ауыстыру әдісін қайтадан қолданамыз: жүйенің бірінші теңдеуінде \(\displaystyle y\) орнына \(\displaystyle {\bf 1} \) санын алмастырамыз және келесіні аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x={\small -\frac{5}{2}}\cdot {\bf 1}+{\small \frac{15}{2}}{\small ,}\\&y=1\end{aligned}\right.\)
или
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x=5{\small ,}\\&y=1{\small .}\end{aligned}\right.\)
| Жауабы: | \(\displaystyle \bf x=-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2};\) |
| \(\displaystyle x=5{\small ,}\;y=1{\small .}\) |