\(\displaystyle \frac{23}{5500}-\frac{3}{1400}\) өрнегінде бөлшектерді ең кіші ортақ бөлгішке келтірейік.
Келесі анықтаманы қолданайық.
ОпределениеЕң кіші ортақ бөлгіш
Екі бөлгіштің ең кіші ортақ еселігі ең кіші ортақ бөлгіш деп аталады.
Яғни, \(\displaystyle 5500\) және \(\displaystyle 1400{\small .}\) бөлінетін ең кіші (ЕКОЕ) санды табу қажет
Ол үшін \(\displaystyle 5500\) және \(\displaystyle 1400\) сандарының әрқайсысын жай көбейткіштерге жіктеу қажет.
\(\displaystyle 5500{\small }\) санын жай көбейткіштерге жіктейік.
\(\displaystyle 2\) мен \(\displaystyle 5{\small }\) бөлінгіштік белгілерін қолданайық. Демек төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle 5500=2\cdot 2750\)
\(\displaystyle 5500\) санының соңғы цифры \(\displaystyle 0{\small }\) тең.
\(\displaystyle 0\) саны жұп.
Демек, \(\displaystyle 5500\) саны \(\displaystyle 2{\small }\) бөлінеді.
Сонда
\(\displaystyle 5500=2\cdot 2750{\small .}\)
\(\displaystyle 5500=2\cdot 2750=2\cdot2\cdot 1375\)
\(\displaystyle 2750\) санының соңғы цифры \(\displaystyle 0{\small }\) тең.
\(\displaystyle 0\) саны жұп.
Демек, \(\displaystyle 2750\) саны \(\displaystyle 2{\small }\) бөлінеді.
Сонда
\(\displaystyle 2750=2\cdot 1375{\small ,}\)
\(\displaystyle 5500=2\cdot 2750=2\cdot 2\cdot 1375{\small .}\)
\(\displaystyle 5500=2\cdot 2750=2\cdot 2\cdot 1375=2\cdot 2\cdot 5\cdot275\)
\(\displaystyle 1375\) санының соңғы цифры \(\displaystyle 5{\small }\) тең.
Демек, \(\displaystyle 1375\) саны \(\displaystyle 5{\small }\) бөлінеді.
Сонда:
\(\displaystyle 1375=5\cdot 275{\small ,}\)
\(\displaystyle 5500=2\cdot 2750=2\cdot2\cdot1375=2\cdot2\cdot5\cdot 275{\small .}\)
\(\displaystyle 5500=2\cdot 2750=2\cdot2\cdot1375=2\cdot2\cdot5\cdot 275=2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot 55\)
\(\displaystyle 275\) санының соңғы цифры \(\displaystyle 5{\small }\) тең.
Демек, \(\displaystyle 275\) саны \(\displaystyle 5{\small }\) бөлінеді.
Сонда:
\(\displaystyle 275=5\cdot 55{\small ,}\)
\(\displaystyle 5500=2\cdot 2750=2\cdot2\cdot1375=2\cdot2\cdot5\cdot 275=2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot 55{\small .}\)
\(\displaystyle 5500=2\cdot 2750=2\cdot2\cdot1375=2\cdot2\cdot5\cdot 275=2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot 55=2^2\cdot 5^3\cdot11\)
\(\displaystyle 55\) санының соңғы цифры \(\displaystyle 5{\small }\) тең.
Демек, \(\displaystyle 55\) саны \(\displaystyle 5{\small }\) бөлінеді.
Сонда:
\(\displaystyle 55=5\cdot11{\small ,}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}5500=2\cdot 2750=2\cdot 2\cdot 1375=2\cdot 2\cdot 5\cdot275=2\cdot 2\cdot 5 \cdot 5 \cdot 55=\\\end{aligned}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}=2\cdot 2\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\cdot 11=2^2\cdot 5^3 \cdot 11{\small .}\end{aligned}\)
\(\displaystyle 11\) саны жай сан болғандықтан, \(\displaystyle 5500\) санының жай көбейткіштерге жіктелуі аяқталды.
Нәтижесінде бізде:
\(\displaystyle \begin{aligned}5500=2\cdot 2750=2\cdot 2\cdot 1375=2\cdot 2\cdot 5\cdot275=2\cdot 2\cdot 5 \cdot 5 \cdot 55=\\\end{aligned}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}=2\cdot 2\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\cdot 11=2^2\cdot 5^3 \cdot 11{\small .}\end{aligned}\)
\(\displaystyle 1400{\small }\) санын жай көбейткіштерге жіктейік \(\displaystyle 2\) мен \(\displaystyle 5{\small }\) бөлінгіштік белгілерін қолданайық
Демек төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle 1400=2\cdot 700\)
\(\displaystyle 1400\) санының соңғы цифры \(\displaystyle 0{\small }\) тең.
\(\displaystyle 0\) саны жұп.
Демек, \(\displaystyle 1400\) саны \(\displaystyle 2{\small }\) бөлінеді.
Сонда
\(\displaystyle 1400=2\cdot 700{\small .}\)
\(\displaystyle 1400=2\cdot 700=2\cdot 2\cdot 350\)
\(\displaystyle 700\) санының соңғы цифры \(\displaystyle 0 {\small }\) тең.
\(\displaystyle 0\) саны жұп.
Демек, \(\displaystyle 700\) саны \(\displaystyle 2{\small }\) бөлінеді.
Сонда:
\(\displaystyle 700=2\cdot 350 {\small ,}\)
\(\displaystyle 1400=2\cdot 700=2\cdot 2\cdot 350{\small .}\)
\(\displaystyle 1400=2\cdot 700=2\cdot 2\cdot 350=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 175\)
\(\displaystyle 350\) санының соңғы цифры \(\displaystyle 0 {\small }\) тең.
\(\displaystyle 0\) саны жұп.
Демек, \(\displaystyle 350\) саны \(\displaystyle 2{\small }\) бөлінеді.
Сонда:
\(\displaystyle 350= 2\cdot 175 {\small ,}\)
\(\displaystyle 1400=2\cdot 700=2\cdot 2\cdot 350=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 175{\small .}\)
\(\displaystyle 1400=2\cdot 700=2\cdot 2\cdot 350=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 175=2\cdot 2 \cdot 2\cdot 5 \cdot 35\)
\(\displaystyle 175\) санының соңғы цифры \(\displaystyle 5{\small }\) тең.
Демек, \(\displaystyle 175\) саны \(\displaystyle 5{\small }\) бөлінеді.
Сонда:
\(\displaystyle 175=5\cdot 35{\small ,}\)
\(\displaystyle 1400=2\cdot 700=2\cdot 2\cdot 350=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 175=2\cdot 2 \cdot 2\cdot 5 \cdot 35{\small .}\)
\(\displaystyle 1400=2\cdot 700=2\cdot 2\cdot 350=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 175=2\cdot 2 \cdot 2\cdot 5 \cdot 35=2^3\cdot 5^2\cdot 7\)
\(\displaystyle 35\) санының соңғы цифры \(\displaystyle 5{\small }\) тең.
Демек, \(\displaystyle 35\) саны \(\displaystyle 5{\small }\) бөлінеді.
Сонда:
\(\displaystyle 35=5\cdot 7{\small ,}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}1400=2\cdot 700=2\cdot 2\cdot 350=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 175=2\cdot 2 \cdot 2\cdot 5\cdot 35=\\\end{aligned}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}=2\cdot2 \cdot 2\cdot 5 \cdot 5\cdot 7 = 2^3\cdot 5^2\cdot 7{\small .}\end{aligned}\)
\(\displaystyle 7\) саны жай сан болғандықтан, \(\displaystyle 1400\) санының жай көбейткіштерге жіктелуі аяқталды.
Нәтижесінде бізде:
\(\displaystyle \begin{aligned}1400=2\cdot 700=2\cdot 2\cdot 350=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 175=2\cdot 2 \cdot 2\cdot 5\cdot 35=\\\end{aligned}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}=2\cdot2 \cdot 2\cdot 5 \cdot 5\cdot 7 = 2^3\cdot 5^2\cdot 7{\small .}\end{aligned}\)
Келесі бөлшектер айырымын алдық:
\(\displaystyle \frac{23}{5500}-\frac{3}{1400}=\frac{23}{2^2\cdot5^3\cdot11}-\frac{3}{2^3\cdot5^2\cdot7}{\small .}\)
\(\displaystyle 5500\) және \(\displaystyle 1400{\small }\) сандарының ең кіші ортақ еселігін табайық.
\(\displaystyle НОК(5500, 1400)=НОК(2^2\cdot5^3\cdot11,2^3\cdot5^2\cdot7)=2^3\cdot5^3\cdot7\cdot11{\small .}\)
\(\displaystyle 5500\) және \(\displaystyle 1400\) сандарының жіктелуін жай көбейткіштермен алмастырып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle ЕКОЕ (5500, 1400)=ЕКОЕ (2^2\cdot5^3\cdot11,2^3\cdot5^2\cdot7){\small .}\)
\(\displaystyle ЕКОЕ\) алу үшін барлық жай көбейткіштердің көбейтіндісін ең жоғары дәрежеде алу керек.
| Сан | Жай көбейткіштер | Барлық жай көбейткіштер өсу ретімен | Ең жоғары дәрежедегі барлық жай көбейткіштер | ЕКОЕ |
|---|
| \(\displaystyle 5500=2^2\cdot5^3\cdot11\) | \(\displaystyle 2^2\) | \(\displaystyle 2^2, 2^3, 5^2, 5^3, 7^1, 11^1\) | \(\displaystyle 2^3, 5^3, 7^1, 11^1\) | \(\displaystyle 2^3\cdot 5^3\cdot 7^1\cdot 11^1\) |
| \(\displaystyle 5^3\) |
| \(\displaystyle 11^1 \) |
| \(\displaystyle 1400=2^3\cdot5^2\cdot7\) | \(\displaystyle 2^3 \) |
| \(\displaystyle 5^2 \) |
| \(\displaystyle 7^1 \) |
Осылайша,
\(\displaystyle ЕКОЕ (5500, 1400)=ЕКОЕ (2^2\cdot5^3\cdot11,2^3\cdot5^2\cdot7)=2^3\cdot 5^3\cdot 7\cdot 11=77000{\small .}\)
Демек, \(\displaystyle 2^3\cdot 5^3\cdot 7\cdot 11\) – \(\displaystyle \frac{23}{5500}\) және \(\displaystyle \frac{3}{1400}{\small }\) бөлшектерінің ең кіші ортақ бөлгіші
\(\displaystyle 2^3\cdot 5^3\cdot 7\cdot 11{\small }\) бөлшегін ең кіші ортақ бөлгішке келтірейік
Сонда
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{23}{5500}=\frac{23}{2^2\cdot5^3\cdot 11} \longrightarrow \frac{23\cdot \color{blue}{ 2}\cdot \color{blue}{ 7}}{2^2\cdot \color{blue}{ 2}\cdot 5^3\cdot\color{blue}{ 7}\cdot 11}{ \small ,}\\[10px]\frac{3}{1400}=\frac{3}{2^3\cdot 5^2\cdot 7 } \longrightarrow \frac{3\cdot \color{green}{ 5}\cdot \color{green}{ 11}}{2^3\cdot 5^2\cdot\color{green}{ 5}\cdot 7\cdot \color{green}{ 11}}{\small .}\end{aligned}\)
Төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{23}{5500}-\frac{3}{1400}=\frac{23}{2^2\cdot5^3\cdot 11} -\frac{3}{2^3\cdot 5^2\cdot 7 }=\\[10px] \end{aligned}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}=\frac{23\cdot \color{blue}{ 2}\cdot \color{blue}{ 7}}{2^2\cdot \color{blue}{ 2}\cdot 5^3\cdot\color{blue}{ 7}\cdot 11}-\frac{3\cdot \color{green}{ 5}\cdot \color{green}{ 11}}{2^3\cdot 5^2\cdot\color{green}{ 5}\cdot 7\cdot \color{green}{ 11}}=\frac{23\cdot 2\cdot 7-3\cdot 5\cdot11}{ 2^3\cdot 5^3\cdot 7\cdot 11 }{\small .}\end{aligned}\)
Сандарды алым мен бөлгіште көбейтіп, содан кейін шегере отырып, төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle \frac{23\cdot 2\cdot 7-3\cdot 5\cdot11}{ 2^3\cdot 5^3\cdot 7\cdot 11 }=\frac{322-165}{ 77000 }=\frac{ 157}{ 77000 }{\small .} \)
Жауабы: \(\displaystyle \frac{157}{77000}{\small .}\)