Skip to main content

Теория: Вычитание дробей с использованием наименьшего общего знаменателя (разложение на множители)

Задание

Найдите разность дробей (в ответе запишите дробь, у которой  знаменатель является наименьшим общим знаменателем дробей):

\(\displaystyle \frac{5}{12\cdot 6}-\frac{1}{27\cdot 4}\,=\)
 
Решение

В выражении \(\displaystyle \frac{5}{12\cdot 6}-\frac{1}{27\cdot 4}\) приведем дроби к наименьшему общему знаменателю.

Воспользуемся определением.

Определение

Наименьший общий знаменатель

Наименьшим общим знаменателем называется наименьшее общее кратное двух знаменателей.

То есть требуется найти наименьшее число (НОК), которое делится на \(\displaystyle 12\cdot 6\) и \(\displaystyle 27\cdot 4{\small .}\)

Для этого нужно разложить каждое из чисел \(\displaystyle 12\cdot 6\) и \(\displaystyle 27\cdot 4\) на простые множители.


Разложим на простые множители число \(\displaystyle 12\cdot 6{\small .}\) Тогда:

\(\displaystyle 12\cdot 6=2^3\cdot 3^2{\small .}\)

Разложим на простые множители число \(\displaystyle 27\cdot 4{\small .}\) Тогда:

\(\displaystyle 27\cdot 4=2^2\cdot 3^3{\small .}\)

Получили разность дробей:

\(\displaystyle \frac{5}{12\cdot 6}-\frac{1}{27\cdot 4}=\frac{5}{2^3\cdot 3^2}-\frac{1}{2^2\cdot 3^3 }{\small .}\)


Найдем наименьшее общее кратное чисел \(\displaystyle 12\cdot 6\) и \(\displaystyle 27\cdot 4{\small .}\)

\(\displaystyle НОК(12\cdot 6, 27\cdot 4)=НОК( 2^3\cdot 3^2, 2^2\cdot 3^3)=2^3\cdot 3^3{\small .}\)

Следовательно, \(\displaystyle 2^3\cdot 3^3 \) – наименьший общий знаменатель дробей \(\displaystyle \frac{5}{12\cdot 6}\) и \(\displaystyle \frac{1}{27\cdot 4}{\small .}\)

 

Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю \(\displaystyle 2^3\cdot 3^3{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{5}{12\cdot 6}=\frac{5}{2^3\cdot 3^2} \longrightarrow \frac{5\cdot \color{blue}{3}}{2^3\cdot 3^2\cdot\color{blue}{3}}{ \small ,}\\[10px]\frac{1}{27\cdot 4}=\frac{1}{ 2^2\cdot 3^3} \longrightarrow \frac{1\cdot \color{green}{ 2}}{\color{green}{ 2}\cdot 2^2\cdot 3^3}{\small .}\end{aligned}\)

Получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{5}{12\cdot 6}-\frac{1}{27\cdot 4}=\frac{5}{2^3\cdot 3^2} -\frac{1}{ 2^2\cdot 3^3} = \\[10px]\end{aligned}\)

\(\displaystyle \begin{aligned}= \frac{5\cdot \color{blue}{3}}{2^3\cdot 3^2\cdot\color{blue}{3}}-\frac{1\cdot \color{green}{ 2}}{\color{green}{ 2}\cdot 2^2\cdot 3^3}=\frac{5\cdot 3-1\cdot 2}{ 2^3\cdot 3^3 }{\small .}\end{aligned}\)


Перемножая числа в числителе и знаменателе, а затем вычитая, получаем:

\(\displaystyle \frac{5\cdot 3-1\cdot 2}{ 2^3\cdot 3^3 }=\frac{15-2}{ 216}=\frac{13}{ 216 }{\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle \frac{13}{216}{\small .}\)