Бөлшектердің қосындысын табыңыз (жауапта бөлгіші бөлшектің ең кіші ортақ бөлгіші болатын бөлшекті жазыңыз):
| \(\displaystyle \frac{11}{2^3\cdot 5}+\frac{5}{2^2\cdot 7}\,=\) |
\(\displaystyle \frac{11}{2^3\cdot 5}+\frac{5}{2^2\cdot 7}\) өрнегінде бөлшектерді ең кіші ортақ бөлгішке келтірейік.
Жай сандардың көбейтіндісі түрінде осы бөлшектердің ең кіші ортақ бөлгішін табайық.
Бұл \(\displaystyle 2^3\cdot 5\) және \(\displaystyle 2^2\cdot 7{\small,}\) бөлінетін ең кіші сан, яғни, бұл сандардың ең кіші ортақ еселігі. Сонда
Жай көбейткіштерге жіктелген екі санның ең кіші ортақ еселігін табу үшін келесі әрекеттерді орындау қажет:
1) барлық жай көбейткіштерді ең жоғары дәрежелерде таңдау;
2) осы көбейткіштердің көбейтіндісі екі санның ең кіші ортақ еселігі болады.
1. Екі санның жай көбейткіштерін жазайық.
\(\displaystyle 2^3\cdot 5\) санының жай көбейткіштері – бұл \(\displaystyle 2\) мен \(\displaystyle 5{\small .}\)
\(\displaystyle 2^2\cdot 7\) санының жай көбейткіштері – бұл \(\displaystyle 2\) мен \(\displaystyle 7{\small .}\)
Өсу ретімен санамаланған барлық жай көбейткіштер: \(\displaystyle 2{\small ,}\) \(\displaystyle 5\) және \(\displaystyle 7{\small .}\)
2. Барлық жай көбейткіштерді ең жоғары дәрежелерде таңдайық.
\(\displaystyle 2{\small }\) дәрежелерін қарастырайық. Бірінші санда бұл \(\displaystyle 2^{3}{\small ,}\) екінші санда – \(\displaystyle 2^2{\small }\), \(\displaystyle 2\) мен \(\displaystyle 3\) арасындағы ең үлкен дәреже – бұл \(\displaystyle 3{\small .}\)
Демек, \(\displaystyle 2^{\color{blue}{3}}{\small }\) бірінші ортақ көбейткішті аламыз
\(\displaystyle 5{\small }\) дәрежелерін қарастырайық. Бірінші санда бұл \(\displaystyle 5^1{\small ,}\) екінші санда \(\displaystyle 5{\small }\) көбейткіші жоқ.
Демек, \(\displaystyle 5^{\color{red}1}{\small }\) екінші ортақ көбейткішті аламыз.
\(\displaystyle 7{\small }\) дәрежелерін қарастырайық. Бірінші санда \(\displaystyle 7{\small }\) көбейткіші жоқ, екінші санда бұл \(\displaystyle 7^{1}{\small .}\)
Демек, \(\displaystyle 7^{\color{green}1}{\small }\) үшінші ортақ көбейткішті аламыз.
3. Осылайша, бастапқы екі санның ең кіші ортақ еселігі \(\displaystyle 2^{\color{blue}3}\cdot 5^{\color{red}{1}}\cdot 7^{\color{green}1}{\small }\) көбейтіндісі болып табылады.
Демек, ең кіші ортақ бөлгіш
\(\displaystyle 2^3\cdot 5\cdot 7{\small }\) тең.
\(\displaystyle 2^3 \cdot 5\cdot 7{\small }\) бөлшегін ең кіші ортақ бөлгішке келтірейік.
Сонда
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{11}{2^3\cdot 5} \longrightarrow \frac{11\cdot \color{blue}{ 7}}{2^3\cdot 5\cdot\color{blue}{ 7} }{ \small ,}\\[10px]\frac{5}{2^2\cdot 7 } \longrightarrow \frac{5\cdot \color{green}{2}\cdot\color{green}{ 5}}{ 2^2\cdot\color{green}{ 2} \cdot\color{green}{ 5} \cdot7}{\small .}\end{aligned}\)
Келесіні аламыз:
\(\displaystyle \frac{11}{2^3\cdot 5}+\frac{5}{2^2\cdot 7 }=\frac{11\cdot \color{blue}{ 7}}{2^3\cdot 5\cdot\color{blue}{ 7} }+ \frac{5\cdot \color{green}{2}\cdot\color{green}{ 5}}{ 2^2\cdot\color{green}{ 2} \cdot\color{green}{ 5} \cdot7}=\frac{11\cdot 7+5\cdot 2\cdot 5}{ 2^3\cdot 5 \cdot 7 }{\small .}\)
Сандарды алым мен бөлгіште көбейтіп, содан кейін қосу арқылы төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle \frac{11\cdot 7+5\cdot 2\cdot 5}{ 2^3\cdot 5 \cdot 7 }=\frac{77+50}{ 280}=\frac{ 127}{ 280 }{\small .} \)
Жауабы: \(\displaystyle \frac{127}{280}{\small .}\)