Skip to main content

Теория: Сложение дробей с использованием наименьшего общего знаменателя (разложение на множители)

Задание

Найдите сумму дробей (в ответе запишите дробь, у которой  знаменатель является наименьшим общим знаменателем дробей):

\(\displaystyle \frac{15}{14\cdot 22}+\frac{5}{21\cdot 33}\,=\)
 
Решение

В выражении \(\displaystyle \frac{15}{14\cdot 22}+\frac{5}{21\cdot 33}\) приведем дроби к наименьшему общему знаменателю.

Воспользуемся определением.

Определение

Наименьший общий знаменатель

Наименьшим общим знаменателем называется наименьшее общее кратное двух знаменателей.

То есть требуется найти наименьшее число (НОК), которое делится на \(\displaystyle 14\cdot 22\) и \(\displaystyle 21\cdot 33{\small .}\)

Для этого нужно разложить каждое из чисел \(\displaystyle 14\cdot 22\) и \(\displaystyle 21\cdot 33\) на простые множители.


Разложим на простые множители число \(\displaystyle 14\cdot 22{\small .}\) Тогда:

\(\displaystyle 14\cdot 22=2^2\cdot7\cdot 11{\small .}\)

Разложим на простые множители число \(\displaystyle 21\cdot 33{\small .}\) Тогда:

\(\displaystyle 21\cdot 33=3^2\cdot7\cdot 11{\small .}\)

Получили сумму дробей:

\(\displaystyle \frac{15}{14\cdot 22}+\frac{5}{21\cdot 33}=\frac{15}{2^2\cdot7\cdot 11}+\frac{5}{3^2\cdot7\cdot 11}{\small .}\)


Найдем наименьшее общее кратное чисел \(\displaystyle 14\cdot 22\) и \(\displaystyle 21\cdot 33{\small .}\)

\(\displaystyle НОК(14\cdot 22,21\cdot 33)=НОК( 2^2\cdot7\cdot 11, 3^2\cdot7\cdot 11)=2^2\cdot3^2\cdot7\cdot 11{\small .}\)

Следовательно, \(\displaystyle 2^2\cdot 3^2\cdot 7\cdot 11 \) – наименьший общий знаменатель дробей \(\displaystyle \frac{15}{14\cdot 22}\) и \(\displaystyle \frac{5}{21\cdot 33}{\small .}\)

 

Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю \(\displaystyle 2^2\cdot 3^2\cdot 7\cdot 11{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{15}{14\cdot 22}=\frac{15}{2^2\cdot 7\cdot 11} \longrightarrow \frac{15\cdot \color{blue}{3^2}}{2^2\cdot\color{blue}{3^2}\cdot 7\cdot 11}{ \small ,}\\[10px]\frac{5}{21\cdot 33}=\frac{5}{ 3^2\cdot 7\cdot 11} \longrightarrow \frac{5\cdot \color{green}{ 2^2}}{\color{green}{ 2^2}\cdot 3^2\cdot 7\cdot 11}{\small .}\end{aligned}\)

Получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{15}{14\cdot 22}+\frac{5}{21\cdot 33}=\frac{15}{2^2\cdot 7\cdot 11} +\frac{5}{ 3^2\cdot 7\cdot 11} = \\[10px]\end{aligned}\)

\(\displaystyle \begin{aligned}= \frac{15\cdot \color{blue}{3^2}}{2^2\cdot\color{blue}{3^2}\cdot 7\cdot 11}+ \frac{5\cdot \color{green}{ 2^2}}{\color{green}{ 2^2}\cdot 3^2\cdot 7\cdot 11}=\frac{15\cdot 3^2+5\cdot 2^2}{ 2^2\cdot 3^2\cdot 7\cdot 11}{\small .}\end{aligned}\)


Перемножая числа в числителе и знаменателе, а затем складывая, получаем:

\(\displaystyle \frac{15\cdot 3^2+5\cdot 2^2}{ 2^2\cdot 3^2\cdot 7\cdot 11}=\frac{135+20}{ 2772}=\frac{155}{ 2772 }{\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle \frac{155}{2772}{\small .}\)