Skip to main content

Теориясы: Ең кіші ортақ бөлімді қолдана отырып бөлшектерді қосу (көбейткіштерге жіктеу)

Тапсырма

Бөлшектердің қосындысын табыңыз (жауапта бөлгіші бөлшектің ең кіші ортақ бөлгіші болатын бөлшекті жазыңыз):

\(\displaystyle \frac{15}{14\cdot 22}+\frac{5}{21\cdot 33}\,=\)
 
Шешім

\(\displaystyle \frac{15}{14\cdot 22}+\frac{5}{21\cdot 33}\) өрнегінде бөлшектерді ең кіші ортақ бөлгішке келтірейік.

Келесі анықтаманы қолданайық.

Определение

Ең кіші ортақ бөлгіш

Екі бөлгіштің ең кіші ортақ еселігі ең кіші ортақ бөлгіш деп аталады.

Яғни, \(\displaystyle 14\cdot 22\) және \(\displaystyle 21\cdot 33{\small }\) бөлінетін ең кіші (ЕКОЕ) санды табу қажет

Ол үшін \(\displaystyle 14\cdot 22\) және \(\displaystyle 21\cdot 33\) сандарының әрқайсысын жай көбейткіштерге жіктеу қажет.


\(\displaystyle 14\cdot 22{\small }\) санын жай көбейткіштерге жіктейік. Сонда:

\(\displaystyle 14\cdot 22=2^2\cdot7\cdot 11{\small .}\)

\(\displaystyle 21\cdot 33{\small }\) санын жай көбейткіштерге жіктейік. Сонда:

\(\displaystyle 21\cdot 33=3^2\cdot7\cdot 11{\small .}\)

Келесі бөлшектер қосындысын алдық:

\(\displaystyle \frac{15}{14\cdot 22}+\frac{5}{21\cdot 33}=\frac{15}{2^2\cdot7\cdot 11}+\frac{5}{3^2\cdot7\cdot 11}{\small .}\)


\(\displaystyle 14\cdot 22\) және \(\displaystyle 21\cdot 33{\small .}\) сандарының ең кіші ортақ еселігін табайық

\(\displaystyle ЕКОЕ(14\cdot 22,21\cdot 33)=ЕКОЕ( 2^2\cdot7\cdot 11, 3^2\cdot7\cdot 11)=2^2\cdot3^2\cdot7\cdot 11{\small .}\)

Демек, \(\displaystyle 2^2\cdot 3^2\cdot 7\cdot 11 \) – \(\displaystyle \frac{15}{14\cdot 22}\) және \(\displaystyle \frac{5}{21\cdot 33}{\small }\) бөлшектерінің ең кіші ортақ бөлгіші

 

\(\displaystyle 2^2\cdot 3^2\cdot 7\cdot 11{\small }\) бөлшегін ең кіші ортақ бөлгішке келтірейік 

Сонда

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{15}{14\cdot 22}=\frac{15}{2^2\cdot 7\cdot 11} \longrightarrow \frac{15\cdot \color{blue}{3^2}}{2^2\cdot\color{blue}{3^2}\cdot 7\cdot 11}{ \small ,}\\[10px]\frac{5}{21\cdot 33}=\frac{5}{ 3^2\cdot 7\cdot 11} \longrightarrow \frac{5\cdot \color{green}{ 2^2}}{\color{green}{ 2^2}\cdot 3^2\cdot 7\cdot 11}{\small .}\end{aligned}\)

Келесіні аламыз:

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{15}{14\cdot 22}+\frac{5}{21\cdot 33}=\frac{15}{2^2\cdot 7\cdot 11} +\frac{5}{ 3^2\cdot 7\cdot 11} = \\[10px]\end{aligned}\)

\(\displaystyle \begin{aligned}= \frac{15\cdot \color{blue}{3^2}}{2^2\cdot\color{blue}{3^2}\cdot 7\cdot 11}+ \frac{5\cdot \color{green}{ 2^2}}{\color{green}{ 2^2}\cdot 3^2\cdot 7\cdot 11}=\frac{15\cdot 3^2+5\cdot 2^2}{ 2^2\cdot 3^2\cdot 7\cdot 11}{\small .}\end{aligned}\)


Ортақ бөлгішті жаза отырып, төмендегіні аламыз:

\(\displaystyle \frac{97\cdot \color{blue}{ 3}\cdot \color{blue}{ 5}}{2^3\cdot \color{blue}{ 3}\cdot \color{blue}{ 5}\cdot 17}+\frac{47\cdot \color{green}{ 2^3}}{\color{green}{ 2^3}\cdot 3\cdot 5\cdot 17}=\frac{97\cdot 3\cdot 5+47\cdot 2^3}{ 2^3\cdot 3 \cdot 5 \cdot 17 }\)


Сандарды алым мен бөлгіште көбейтіп, содан кейін қосу арқылы төмендегіні аламыз:

\(\displaystyle \frac{15\cdot 3^2+5\cdot 2^2}{ 2^2\cdot 3^2\cdot 7\cdot 11}=\frac{135+20}{ 2772}=\frac{155}{ 2772 }{\small .} \)

Жауабы: \(\displaystyle \frac{155}{2772}{\small .}\)