Найдите наименьшее общее кратное чисел \(\displaystyle 18\) и \(\displaystyle 45\), используя алгоритм Евклида и формулу
\(\displaystyle \text{НОК}(a,b)= \frac{a\cdot b}{\text{НОД}(a, b)}\).
\(\displaystyle \text{НОК}(18, 45) = \frac{18\cdot 45}{\text{НОД}(18, 45)}=\)
Алгоритм Евклида для НОД(a, b)
1. Пусть \(\displaystyle b>a\). Делим большее \(\displaystyle b\) на меньшее \(\displaystyle a\) с остатком:
\(\displaystyle b=a\cdot n+ {\bf r}\).
2. \(\displaystyle \text{НОД}(a,b)=\text{НОД}(a,{\bf r})\).
3. Если \(\displaystyle {\bf r}=0\), то \(\displaystyle \text{НОД}(a,{\bf r})=a\). Если \(\displaystyle {\bf r}=\not 0\), то ищем \(\displaystyle \text{НОД}(a,{\bf r})\) (но теперь \(\displaystyle a>{\bf r}\)).
Если \(\displaystyle \text{НОД}(a, b)\) найден, то
\(\displaystyle \text{НОК}(a, b) = \frac{a\cdot b}{\text{НОД}(a, b)}\).
Найдем \(\displaystyle \text{НОД}(18, 45)\):
Шаг 1. Применим алгоритм Евклида к \(\displaystyle \text{НОД}(18, 45)\).
1. Так как \(\displaystyle 45> 18\), то делим \(\displaystyle 45\) на \(\displaystyle 18\) с остатком: \(\displaystyle 45=18\cdot 2+{\bf 9}\).
2. \(\displaystyle \text{НОД}(18, 45)=\text{НОД}(18,{\bf 9})\).
3. Так как \(\displaystyle {\bf 9} =\not 0\), то переходим к шагу 2.
Шаг 2. Применим алгоритм Евклида к \(\displaystyle \text{НОД}(18, 9)=\text{НОД}(9, 18)\).
1. Так как \(\displaystyle 18> 9\), то делим \(\displaystyle 18\) на \(\displaystyle 9\) с остатком: \(\displaystyle 18=9\cdot 2+{\bf 0}\).
2. \(\displaystyle \text{НОД}(9, 18)=\text{НОД}(9,{\bf 0})\).
3. \(\displaystyle \text{НОД}(9,{\bf 0})=9\).
Таким образом, \(\displaystyle \text{НОД}(18, 45)=9\).
Найдем \(\displaystyle \text{НОК}(18, 45)\):
\(\displaystyle \text{НОК}(18, 45)= \frac{18\cdot 45}{\text{НОД}(18, 45)}=\frac{810}{9}=90\).
Ответ: \(\displaystyle \text{НОК}(18, 45)=90\).