Найдите наименьшее общее кратное чисел \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 30\), используя алгоритм Евклида и формулу
\(\displaystyle \text{НОК}(a,b)= \frac{a\cdot b}{\text{НОД}(a, b)}\).
\(\displaystyle \text{НОК}(5, 30) = \frac{5\cdot 30}{\text{НОД}(5, 30)}=\)
Алгоритм Евклида для НОД(a, b)
1. Пусть \(\displaystyle b>a\). Делим большее \(\displaystyle b\) на меньшее \(\displaystyle a\) с остатком:
\(\displaystyle b=a\cdot n+ {\bf r}\).
2. \(\displaystyle \text{НОД}(a,b)=\text{НОД}(a,{\bf r})\).
3. Если \(\displaystyle {\bf r}=0\), то \(\displaystyle \text{НОД}(a,{\bf r})=a\). Если \(\displaystyle {\bf r}=\not 0\), то ищем \(\displaystyle \text{НОД}(a,{\bf r})\) (но теперь \(\displaystyle a>{\bf r}\)).
Если \(\displaystyle \text{НОД}(a, b)\) найден, то
\(\displaystyle \text{НОК}(a, b) = \frac{a\cdot b}{\text{НОД}(a, b)}\).
Найдем \(\displaystyle \text{НОД}(5, 30)\):
1. Так как \(\displaystyle 30> 5\), то делим \(\displaystyle 30\) на \(\displaystyle 5\) с остатком: \(\displaystyle 30=5\cdot 6+{\bf 0}\).
2. \(\displaystyle \text{НОД}(5, 30)=\text{НОД}(5,{\bf 0})\).
3. \(\displaystyle \text{НОД}(5,{\bf 0})=5\).
Таким образом, \(\displaystyle \text{НОД}(5, 30)=5\).
Найдем \(\displaystyle \text{НОК}(5, 30)\):
\(\displaystyle \text{НОК}(5, 30)= \frac{5\cdot 30}{\text{НОД}(5, 30)}=\frac{150}{5}=30\).
Ответ: \(\displaystyle \text{НОК}(5, 30)=30\).