Найти наименьшее общее кратное для чисел \(\displaystyle 2^3\cdot 11^{5}\) и \(\displaystyle 2^{7}\cdot 7^{10}:\)
| \(\displaystyle \text{НОК}(2^3\cdot 11^{5}, \,\, 2^{7}\cdot 7^{10})=\) | \(\displaystyle \cdot\) | \(\displaystyle \cdot\) |
Чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, разложенных на простые множители, надо:
1) выбрать все простые множители в наибольших степенях;
2) произведение этих множителей и будет наименьшим общим кратным двух чисел.
1. Выпишем простые множители двух чисел.
Простые множители числа \(\displaystyle 2^3\cdot 11^{5}\) – это \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 11\).
Простые множители числа \(\displaystyle 2^{7}\cdot 7^{10}\) – это \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 7\).
Все простые множители, перечисленные в порядке возрастания: \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 7\) и \(\displaystyle 11\).
2. Выберем все простые множители в наибольших степенях.
Рассмотрим степени \(\displaystyle 2\). В первом числе это \(\displaystyle 2^3\), во втором числе – \(\displaystyle 2^7\). Наибольшая степень из \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 7\) – это \(\displaystyle 7\). Следовательно, первый общий множитель берем \(\displaystyle 2^{\color{blue}7}\).
Рассмотрим степени \(\displaystyle 7\). В первом числе \(\displaystyle 7\) отсутствует (считаем, что \(\displaystyle 7\) в нулевой степени), во втором числе это \(\displaystyle 7^{10}\). Наибольшая степень из \(\displaystyle 0\) и \(\displaystyle 10\) – это \(\displaystyle 10\). Следовательно, второй общий множитель берем \(\displaystyle 7^{\color{red}{10}}\).
Рассмотрим степени \(\displaystyle 11\). В первом числе это \(\displaystyle 11^{5}\), а во втором числе \(\displaystyle 11\) нет (считаем, что \(\displaystyle 11\) в нулевой степени). Наибольшая степень из \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 0\) – это \(\displaystyle 5\). Следовательно, третий общий множитель берем \(\displaystyle 11^{\color{green}{5}}\).
3. Таким образом, наименьшим общим кратным исходных двух чисел является произведение \(\displaystyle 2^{\color{blue}7}\cdot 7^{\color{red}{10}}\cdot 11^{\color{green}{5}}\).
Ответ: \(\displaystyle 2^{\color{blue}7}\cdot 7^{\color{red}{10}}\cdot 11^{\color{green}{5}}\).