Упростите выражение:
Возведение дроби в степень
Чтобы возвести дробь в степень, надо числитель и знаменатель возвести в эту степень.
\(\displaystyle \left(\frac{x}{y}\right)^{\color{red}{n}}= \frac{ x^{\color{red}{n}}}{ y^{\color{red}{n}} } \)
В соответствии с описанным выше правилом:
\(\displaystyle \left(\frac{x+1}{x+2}\right)^{\color{green}3}\cdot\left(\frac{(x+2)^2}{x+1}\right)^{\color{blue}2}=\frac{(x+1)^{\color{green}3}}{(x+2)^{\color{green}3}}\cdot\frac{\left((x+2)^2\right)^{\color{blue}2}}{(x+1)^{\color{blue}2}}\small.\)
Раскроем скобки:
\(\displaystyle \frac{(x+1)^{3}}{(x+2)^{3}}\cdot\frac{\left((x+2)^{\color{blue}2}\right)^{\color{blue}2}}{(x+1)^{2}}=\frac{(x+1)^{3}}{(x+2)^{3}}\cdot\frac{(x+2)^{\color{blue}{2\cdot2}}}{(x+1)^{2}}=\frac{(x+1)^{3}}{(x+2)^{3}}\cdot\frac{(x+2)^{4}}{(x+1)^{2}}\small.\)
Выполним умножение дробей:
\(\displaystyle \frac{(x+1)^{3}}{(x+2)^{3}}\cdot\frac{(x+2)^{4}}{(x+1)^{2}}=\frac{(x+1)^{3}\cdot(x+2)^{4}}{(x+2)^{3}\cdot(x+1)^{2}}\small.\)
Сокращая дробь, получаем:
\(\displaystyle \frac{(x+1)^{\cancel{3}}\cdot(x+2)^{\cancel{4}}}{\cancel{(x+2)^{3}}\cdot\cancel{(x+1)^{2}}}=(x+1)(x+2)\small.\)
Ответ: \(\displaystyle (x+1)(x+2)\small.\)