"Свойство прибавления или вычитание одного и того же числа"
Если для чисел \(\displaystyle \color{blue}{a},\, \color{green}{b}\) и \(\displaystyle \color{red}{c}\) верно, что
\(\displaystyle \color{blue}{a}<\color{green}{b}{\small , }\)
то
\(\displaystyle \color{blue}{a}+\color{red}{c}<\color{green}{b}+\color{red}{c}{\small ,}\)
\(\displaystyle \color{blue}{a}-\color{red}{c}<\color{green}{b}-\color{red}{c}{\small . }\)
Доказательство.
По определению неравенства \(\displaystyle \color{blue}{a}<\color{green}{b}\) получаем, что
\(\displaystyle \color{green}{b}-\color{blue}{a}>0{\small .}\)
Добавим и вычтем \(\displaystyle \color{red}{c}\) во втором неравенстве. Тогда выражение не изменится, так как \(\displaystyle \color{red}{c}-\color{red}{c}=0{\small . }\) Получаем:
\(\displaystyle \color{green}{b}-\color{blue}{a}+\color{red}{c}-\color{red}{c}>0{\small .}\)
Сгруппируем \(\displaystyle \color{green}{b}\) и \(\displaystyle \color{red}{c}{\small ,}\) и \(\displaystyle -\color{blue}{a}\) и \(\displaystyle -\color{red}{c}\,{\small :}\)
\(\displaystyle \color{green}{b}+\color{red}{c}-\color{blue}{a}-\color{red}{c}>0\) или \(\displaystyle (\color{green}{b}+\color{red}{c}\,)-(\color{blue}{a}+\color{red}{c}\,)>0{\small .}\)
Тогда по определению
\(\displaystyle \color{green}{b}+\color{red}{c}>\color{blue}{a}+\color{red}{c}{\small .}\)
Если сгруппировать \(\displaystyle \color{green}{b}\) и \(\displaystyle -\color{red}{c}{\small , }\) и \(\displaystyle -\color{blue}{a}\) и \(\displaystyle \color{red}{с}{\small ,}\) то \(\displaystyle \color{green}{b}-\color{red}{c}-\color{blue}{a}+\color{red}{c}>0{\small , }\) или \(\displaystyle (\color{green}{b}-\color{red}{c}\,)-(\color{blue}{a}-\color{red}{c}\,)>0{\small .}\)
Тогда по определению
\(\displaystyle \color{green}{b}-\color{red}{c}>\color{blue}{a}-\color{red}{c}{\small .}\)