На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: \(\displaystyle А{ \small ,}\, Б{ \small ,}\, В\)и\(\displaystyle Г{\small .}\) Расстояние между \(\displaystyle А\) и \(\displaystyle Б\) – \(\displaystyle 60\) км, между \(\displaystyle А\) и \(\displaystyle В\) – \(\displaystyle 45\) км, между \(\displaystyle В\) и \(\displaystyle Г\) – \(\displaystyle 40\) км, между \(\displaystyle Г\) и \(\displaystyle А\) – \(\displaystyle 35\) км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге).
Найдите расстояние (в километрах) между \(\displaystyle Б\) и \(\displaystyle В{\small .}\)
Обратим внимание на две важных вещи:
- обозначения \(\displaystyle А,\, Б,\, В\)и\(\displaystyle Г\) еще не означают, что бензоколонки обозначены на окружности именно в таком порядке;
- расстояния между бензоколонками измеряются по кратчайшей дуге.
По условию бензоколонки \(\displaystyle А,\, Б,\, В\)и\(\displaystyle Г\) расположены на кольцевой дороге.
Рассмотрим бензоколонки, все расстояния между которыми известны. Это \(\displaystyle А{ \small ,}\,В\) и \(\displaystyle Г{\small:}\)
- между \(\displaystyle А\) и \(\displaystyle В\) – \(\displaystyle 45\) км,
- между \(\displaystyle В\) и \(\displaystyle Г\) – \(\displaystyle 40\) км,
- между \(\displaystyle Г\) и \(\displaystyle А\) – \(\displaystyle 35\) км.
Сумма любых двух из этих расстояний меньше третьего.
Тогда эти дуги \(\displaystyle АВ\small,\) \(\displaystyle ВГ\) и \(\displaystyle ГА\) образуют окружность:
Получаем, что длина всей кольцевой дороги \(\displaystyle 35+40+45=120\) км.
Обратимся к последнему известному расстоянию:
- между \(\displaystyle А\) и \(\displaystyle Б\) – \(\displaystyle 60\) км.
Поскольку длина всей трассы \(\displaystyle 120\small,\) то бензоколонка \(\displaystyle Б\) диаметрально противоположна \(\displaystyle А\small.\)
То есть обе дуги между \(\displaystyle А\) и \(\displaystyle Б\) равны \(\displaystyle 60\) км.
Тогда
дуга \(\displaystyle БВ=\) дуга \(\displaystyle БА\,-\)дуга \(\displaystyle ВА=60-45=15\) км.
Ответ: \(\displaystyle 15\) км.