Теория: Нахождение суммы кубов

Перепишем формулу "сумма кубов" в обратном порядке:

\(\displaystyle (a+b\,)(a^{\,2}-ab+b^{\,2})=a^{\,3}+b^{\,3}.\)

Сравним левую часть формулы и данное нам выражение:

\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{c}{\color{blue}{(a+b\,)}}\\\color{blue}{(x+6z\,)}\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}\color{green}{(a^{\,2}-ab+b^{\,2})}\\\color{green}{(x^{\, 2}-6xz+36z^{\,2})}\end{array}\begin{array}{l}=a^{\,3}+b^{\,3},\\=\,?\end{array}\end{aligned}\)

Заметим, что поскольку \(\displaystyle 36z^{\,2}=6^2z^{\,2}=(6z\,)^2,\) то можно записать:

\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{c}{\color{blue}{(a+b\,)}}\\\color{blue}{(x+6z\,)}\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}\color{green}{(a^{\,2}-ab+b^{\,2})}\\\color{green}{(x^{\, 2}-6xz+(6z\,)^2)}\end{array}\begin{array}{l}=a^{\,3}+b^{\,3},\\=\,?\end{array}\end{aligned}\)

Теперь можно предположить, что скобки с двумя слагаемыми равны друг другу, и скобки с тремя слагаемыми также равны друг другу:

\(\displaystyle \begin{aligned}\color{blue}{(x+6z\,)}&=\color{blue}{(a+b\,)},\\\color{green}{(x^{\, 2}-6xz+(6z\,)^2)}&=\color{green}{(a^{\,2}-ab+b^{\,2})}.\end{aligned}\)

Данные равенства верны при \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=6z.\) Cледовательно,

\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{c}{\color{blue}{(a+b\,)}}\\{\small |\;|}\\\color{blue}{(x+6z\,)}\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}\color{green}{(a^{\,2}-ab+b^{\,2})}\\{\small |\;|}\\\color{green}{(x^{\, 2}-6xz+(6z\,)^2)}\end{array}\begin{array}{c}=\\\phantom{=}\\=\end{array}\begin{array}{c}\color{red}{a^{\,3}+b^{\,3}},\\{\small |\;|}\\\color{red}{x^{\,3}+(6z\,)^3}\end{array}\end{aligned}\)

И, поскольку \(\displaystyle (6z\,)^3=6^3z^{\,3}=216z^{\,3},\) то

\(\displaystyle x^{\,3}+(6z\,)^3=x^{\,3}+216z^{\,3}.\)

Таким образом,

\(\displaystyle (x+6z\,)(x^{\, 2}-6xz+36z^{\,2})=x^{\,3}+216z^{\,3}.\)

Ответ: \(\displaystyle {\bf x}^{\,3}+{\bf 216z}^{\,3}.\)