Теория: 10 \(\displaystyle (5x-13)\log_{2x-5} (x^2-6x+10)\geqslant 0\)

Решим неравенство \(\displaystyle x^2-6x+10>0{\small .}\)

Для квадратного уравнения \(\displaystyle x^2-6x+10=0\) дискриминант 

\(\displaystyle {\rm D}= (-6)^2-4\cdot 1\cdot 10=36-40=-4<0{\small .}\) 

Так как дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет решений в действительных числах.

Значит, нужно рассматривать всю числовую ось как один промежуток:

Получаем один интервал:

\(\displaystyle (-\infty;+\infty){\small .}\)

При этом на всей числовой прямой функция \(\displaystyle f(x)=x^2-6x+10\)  будет иметь один знак.

Выберем любую точку на прямой и определим знак функции в данной точке. Наиболее удобно выбрать \(\displaystyle x=0{\small :}\)

\(\displaystyle f(0)=0^2-6\cdot0+10=10>0{\small .}\)

Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;+\infty){\small :}\)

Так как решения неравенства  \(\displaystyle x^2-6x+10>0\) соответствуют промежуткам, где функция \(\displaystyle f(x)=x^2-6x+10\) положительна, то

\(\displaystyle (-\infty;+\infty)\) – искомое решение.

Решим неравенство \(\displaystyle 2x-5>0{\small :}\)

\(\displaystyle 2x-5>0{\small ,}\)

\(\displaystyle 2x>5{\small ,}\)

\(\displaystyle x>2{,}5{\small ,}\)

\(\displaystyle x\in (2{,}5;+\infty){\small .}\)

Решим неравенство \(\displaystyle 2x-5\, \cancel = \,1{\small :}\)

\(\displaystyle 2x-5\, \cancel = \,1{\small .}\) 

\(\displaystyle 2x\, \cancel = \,6{\small .}\) 

\(\displaystyle x\, \cancel = \,3{\small .}\) 

\(\displaystyle x\in (-\infty;3) \cup (3;+\infty){\small .}\)

Найдём решение системы неравенств, то есть пересечение множеств:

\(\displaystyle (-\infty;+\infty){\small ,}\) \(\displaystyle (2{,}5;+\infty){\small ,}\) \(\displaystyle (-\infty;3) \cup (3;+\infty){\small .}\)

Получаем:

\(\displaystyle (2{,}5;3) \cup (3;+\infty){\small .}\)

Произведение двух сомножителей обращается в ноль, если один из них равен нулю, а второй при этом определен.

Тогда, на области определения неравенства, получаем

\(\displaystyle 5x-13 = 0{\small }\) или \(\displaystyle \log_{2x-5} (x^2-6x+10) = 0{\small ,}\)

\(\displaystyle 5x=13 {\small }\) или \(\displaystyle x^2-6x+10 = 1{\small ,}\)

\(\displaystyle x=2{,}6 {\small }\) или \(\displaystyle x^2-6x+9 = 0{\small .}\)

• Число \(\displaystyle x=2{,}6\) является корнем, так как лежит в области определения неравенства.

Решаем квадратное уравнение \(\displaystyle x^2-6x+9 = 0{\small .}\)

Его дискриминант 

\(\displaystyle {\rm D}= (-6)^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0{\small .}\) 

Так как дискриминант равен нулю, то уравнение имеет единственный корень

\(\displaystyle x= \frac{-(-6)}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}={3}{ \small .}\)

• Число \(\displaystyle x=3\) не является корнем, так как не лежит в области определения неравенства.

Таким образом, корень – \(\displaystyle x=2{,}6{ \small .}\)

• Для интервала \(\displaystyle (2{,}5;2{,}6)\) выберем \(\displaystyle x=2{,}55{\small :}\) 

\(\displaystyle f(2{,}55)= (5\cdot 2{,}55-13)\cdot \log _{2\cdot 2{,}55 -5} ( (2{,}55)^2-6\cdot 2{,}55+10)=\)

\(\displaystyle =(12{,}75-13)\cdot \log _{5{,}1-5} ( 6{,}5025-15{,}3+10)=(-0{,}25)\cdot \log _{0{,}1} ( 1{,}2025){\small .}\)

Определим знак \(\displaystyle \log _{0{,}1} ( 1{,}2025){\small , }\) то есть сравним его с \(\displaystyle 0= \log _{0{,}1} 1{\small .}\)

\(\displaystyle 1{,}2025 >1{\small, }\) а логарифмическая функция \(\displaystyle y=\log _{0{,}1}x\) убывает. Тогда

\(\displaystyle \log _{0{,}1} ( 1{,}2025) <\log _{0{,}1} 1= 0{\small . }\)

Получаем, что

\(\displaystyle f(2{,}55)=(-0{,}25)\cdot \log _{0{,}1} ( 1{,}2025)>0{\small .}\)

Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (2{,}5;2{,}6){\small.}\)

Для интервала \(\displaystyle (2{,}6;3)\) выберем \(\displaystyle x=2{,}8{\small :}\)

\(\displaystyle f(2{,}8)= (5\cdot 2{,}8-13)\cdot \log _{2\cdot 2{,}8 -5} ( (2{,}8)^2-6\cdot 2{,}8+10)=\)

\(\displaystyle =(14-13)\cdot \log _{5{,}6-5} ( 7{,}84-16{,}8+10)=1\cdot \log _{0{,}6} ( 1{,}04){\small .}\)

Определим знак \(\displaystyle \log _{0{,}1} ( 1{,}04){\small , }\) то есть сравним его с \(\displaystyle 0= \log _{0{,}6} 1{\small .}\)

\(\displaystyle 1{,}04 >1{\small, }\) а логарифмическая функция \(\displaystyle y=\log _{0{,}6}x\) убывает. Тогда

\(\displaystyle \log _{0{,}6} ( 1{,}04) <\log _{0{,}6} 1= 0{\small . }\)

Получаем, что

\(\displaystyle f(2{,}8=\log _{0{,}6} ( 1{,}04))<0{\small .}\)

Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (2{,}6;3){\small.}\)

Для интервала \(\displaystyle (3;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=4{\small :}\)

\(\displaystyle f(4)= (5\cdot 4-13)\cdot \log _{2\cdot 4 -5} ( 4^2-6\cdot 4+10)=(20-13)\cdot \log _{8-5} ( 16-24+10)=7\cdot \log _{3}2{\small .}\)

Определим знак \(\displaystyle \log _{3}2{\small ,}\) то есть сравним его с \(\displaystyle 0= \log _{3} 1{\small .}\)

\(\displaystyle 2 >1{\small, }\) а логарифмическая функция \(\displaystyle y=\log _{3}x\) возрастает. Тогда

\(\displaystyle \log _{3} 2>\log _{3} 1=0{\small .}\) 

Получаем, что

\(\displaystyle f(4)=7\cdot \log _{3}2>0\)

Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (3;+\infty){\small.}\)