Теория: 07 \(\displaystyle \left( 4^x-5\cdot 2^x \right)^2-20\left( 4^x-5\cdot 2^x \right) -96\leqslant 0\)

Решим неравенство \(\displaystyle a^2-20a-96\leqslant 0{\small .}\) 

Решим уравнение

\(\displaystyle a^2-20a-96= 0{\small .}\)

Вычислим дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}= (-20)^2-4\cdot 1\cdot (-96)=400+384=784\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{784}=28{\small .} \)

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle a_1= \frac{-(-20)-28}{2\cdot 1}=\frac{-8}{2}=-4{ \small ,}\)

\(\displaystyle a_2=\frac{-(-20)+28}{2\cdot 1}=\frac{48}{2}=24{\small .}\)

Отметим точки, соответствующие корням уравнения, на числовой оси и определим знаки функции \(\displaystyle f(a)=a^2-20a-96\) на каждом из трёх полученных интервалов.

Решения неравенства  \(\displaystyle a^2-20a-96\leqslant 0\) соответствуют промежуткам, где значения функции \(\displaystyle f(a)=a^2-20a-96\) отрицательны или равны нулю.

Тогда неравенство выполняется при

\(\displaystyle {-4\leqslant a \leqslant 24{\small .}}\)

Переменная \(\displaystyle x\) содержится в показателях степеней с основаниями  \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 4{\small .}\)

Воспользуемся тем, что \(\displaystyle 4^x={(2^2)}^x={(2^x)}^2\) и 

В полученном двойном неравенстве сделаем замену \(\displaystyle t=2^x{\small :}\)

\(\displaystyle -4\leqslant t^2-5\cdot t \leqslant 24{\small .}\)

Запишем данное неравенство в виде системы двух неравенств:

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{rl}t^2-5t& \leqslant \,24{\small ,}\\[7px]t^2-5t&\geqslant -4{\small ;}\\\end{array}\right.\)

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{rl}t^2-5t-24& \leqslant \, 0{\small ,}\\[7px]t^2-5t+4&\geqslant\, 0{\small .}\\\end{array}\right.\)

Решим неравенство \(\displaystyle t^2-5t-24\leqslant 0{\small }\) методом интервалов.

Решим уравнение

\(\displaystyle t^2-5t-24= 0{\small .}\)

Вычислим дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}= (-5)^2-4\cdot 1\cdot (-24)=25+96=121\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{121}=1{\small .} \)

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle a_1= \frac{-(-5)-11}{2\cdot 1}=\frac{-6}{2}=-3{ \small ,}\)

\(\displaystyle a_2=\frac{-(-5)+11}{2\cdot 1}=\frac{16}{2}=8{\small .}\)

Отметим точки, соответствующие корням уравнения, на числовой оси и определим знаки функции \\(\displaystyle f(t)=t^2-5t-24\) на каждом из трёх полученных интервалов.

Решения неравенства  \(\displaystyle t^2-5t-24\leqslant 0\) соответствуют промежуткам, где значения функции \(\displaystyle f(t)=t^2-5t-24\) отрицательны или равны нулю.

Тогда неравенство выполняется при

\(\displaystyle -3\leqslant t\leqslant 8{\small .}\)

Решим неравенство \(\displaystyle t^2-5t+4\geqslant 0{\small .}\)

Решим уравнение

\(\displaystyle t^2-5t+4= 0{\small .}\)

Вычислим дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}= (-5)^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{9}=3{\small .} \)

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle a_1= \frac{-(-5)-3}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1{ \small ,}\)

\(\displaystyle a_2=\frac{-(-5)+3}{2\cdot 1}=\frac{8}{2}=4{\small .}\)

Отметим точки, соответствующие корням уравнения, на числовой оси и определим знаки функции \\(\displaystyle f(t)=t^2-5t+4\) на каждом из трёх полученных интервалов.

Решения неравенства  \(\displaystyle t^2-5t+4\geqslant 0\) соответствуют промежуткам, где функция \(\displaystyle f(t)=t^2-5t+4\) положительна или равна нулю.

Тогда неравенство выполняется при

\(\displaystyle -\infty< t\leqslant 1{\small ;} \,\,\,\, 4 \leqslant t < +\infty{\small .}\)

Изобразим на числовой оси решения

• первого неравенства \(\displaystyle t^2-5t-24\leqslant 0{\small ,}\)
• второго неравенства \(\displaystyle t^2-5t+4\geqslant 0{\small .}\)

Найдём пересечение отмеченных промежутков: 

\(\displaystyle {-3\leqslant t\leqslant 1}{\small;}\) \(\displaystyle {4\leqslant t\leqslant 8{\small.}}\) 

Запишем двойное неравенство в виде системы неравенств:

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}2^x& \geqslant-3,\\[5px]2^x& \leqslant \,1.\\\end{array}\right.\)

Решим каждое неравенство системы и найдём пересечение полученных множеств решений.

• Решим первое неравенство: \(\displaystyle 2^x \geqslant-3{\small .}\)

Показательная функция \(\displaystyle y=2^x\) принимает только положительные значения, поэтому неравенство \(\displaystyle {2^x \geqslant-3}{\small}\) выполняется при любых действительных значениях переменной \(\displaystyle x{\small .}\)

То есть, решением первого неравенства является промежуток \(\displaystyle (-\infty;+\infty){\small .}\)
 

• Решим второе неравенство: \(\displaystyle 2^x \leqslant 1{\small .}\)

\(\displaystyle 2^x \leqslant 1\Leftrightarrow 2^x \leqslant 2^0{\small .}\)

Так как основание степени \(\displaystyle 2>1{\small,}\) то при переходе к неравенству на показатели знак неравенства не изменится.

Получим: \(\displaystyle x \leqslant 0{\small. } \)

То есть, решением данного неравенства является промежуток \(\displaystyle (-\infty;0]{\small .}\)
 

• Пересечением полученных промежутков \(\displaystyle (-\infty;+\infty)\) и \(\displaystyle (-\infty;0]\) является \(\displaystyle (-\infty;0]{\small .}\)

Запишем двойное неравенство в виде системы неравенств:

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}2^x& \geqslant4,\\[5px]2^x& \leqslant \,8.\\\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcl}2^x& \geqslant2^2,\\[5px]2^x& \leqslant \,2^3.\\\end{array}\right.\)

Так как основание степени \(\displaystyle 2>1{\small,}\) то при переходе к неравенствам на показатели знаки неравенств не изменятся.

Получим: 

\(\displaystyle\left\{\begin{array}{rcl}x& \geqslant2,\\[5px]x& \leqslant \,3.\\\end{array}\right.\)

То есть, решением данного двойного неравенства является промежуток \(\displaystyle [2;3]{\small .}\)