Найдите значение выражения:
\(\displaystyle \log_5 75-\frac{1}{2} \log_5 9= \)
Данное выражение – это разность, логарифмы имеют одинаковые основания.
Однако перед вторым логарифмом стоит множитель – это не дает возможности сразу применить свойство разности логарифмов.
Внесем этот множитель под логарифм, применив свойство логарифма степени:
\(\displaystyle \log_a b^{\color{red}k}=\color{red}k \log_a b\)
или
\(\displaystyle \color{red}k \log_a b=\log_a b^{\color{red}k}\)
\(\displaystyle (b>0, a>0,a \, \cancel= \,1 )\)
Получаем:
\(\displaystyle \color{red}{\frac{1}{2}} \log_5 9=\log_5 9^{\color{red}{\frac{1}{2}}} {\small.}\)
Упростим полученный логарифм:
\(\displaystyle 9^{\frac{1}{2}}=\sqrt 9 =3{\small,}\)
\(\displaystyle \log_5 9^{\frac{1}{2}}=\log_5 3{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle \log_5 75-\frac{1}{2} \log_5 9=\log_5 75- \log_5 3 {\small.} \)
Применим свойство разности логарифмов:
\(\displaystyle \log_{\color{red}{a}} \color{blue}b-\log_{\color{red}{a}} \color{blue}c=\log_\color{red}a \frac{\color{blue}b} {\color{blue}c} \)
\(\displaystyle (b>0, c>0,a>0,a \, \cancel= \,1 )\)
Значит,
\(\displaystyle \log_5 75- \log_5 3=\log_5 \frac{75}{3}{\small.}\)
Найдем значение полученного логарифма:
\(\displaystyle \log_5 \frac{75}{3}=\log_5 25=2{\small .}\)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle \log_5 75-\frac{1}{2} \log_5 9=\log_5 75- \log_5 3=\log_5 \frac{75}{3}=\log_5 25=2 {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 2 {\small.} \)