Найдите значение выражения:
\(\displaystyle 3^{6}\cdot 5^{-13}\cdot\left(3^{-2}\cdot 5^4\right)^3=\)
Раскроем скобки. При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень.
То есть
\(\displaystyle 3^{6}\cdot 5^{-13}\cdot\left(3^{-2}\cdot 5^4\right)^\color{blue}{3}=3^{6}\cdot 5^{-13}\cdot\left(3^{-2}\right)^{\color{blue}{3}}\cdot\left( 5^4\right)^\color{blue}{3}{\small.}\)
По правилу степени в степени показатели этих степеней перемножаются:
- \(\displaystyle \color{green}{\left(3^{-2}\right)^{3}=3^{(-2)\cdot3}=3^{-6}}{\small,}\)
- \(\displaystyle \color{blue}{\left( 5^4\right)^3=5^{4\cdot3}=5^{12}}{\small.}\)
Значит,
\(\displaystyle 3^{6}\cdot 5^{-13}\cdot\color{green}{\left(3^{-2}\right)^{3}}\cdot\color{blue}{\left( 5^4\right)^3}=3^{6}\cdot 5^{-13}\cdot\color{green}{3^{-6}}\cdot \color{blue}{5^{12}}{\small.}\)
При перемножении степеней с одинаковыми основаниями показатели этих степеней складываются.
Тогда
\(\displaystyle 3^{\color{green}{6}}\cdot 5^{\color{blue}{-13}}\cdot3^{\color{green}{-6}}\cdot 5^{\color{blue}{12}}=3^{\color{green}{6-6}}\cdot5^{\color{blue}{-13+12}}=3^0\cdot5^{-1}=5^{-1}{\small.}\)
По определению отрицательной степени \(\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}{\small.}\) Тогда
\(\displaystyle 5^{-1}=\frac{1}{5}=0{,}2{\small.}\)
Таким образом, получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}3^{6}\cdot 5^{-13}\cdot\left(3^{-2}\cdot 5^4\right)^3=3^{6}\cdot 5^{-13}\cdot\left(3^{-2}\right)^{3}\cdot\left( 5^4\right)^3=3^{6}\cdot 5^{-13}\cdot3^{-6}\cdot 5^{12}=\\[10px]=3^{{6-6}}\cdot5^{{-13+12}}=5^{-1}=0{,}2{\small.}\end{aligned}\)
Ответ: \(\displaystyle 0{,}2{\small.}\)