Skip to main content

Теория: Понятие отрицательного показателя степени (параметры)

Задание

Для любого ненулевого числа \(\displaystyle a\) найдите показатель степени выражения:

\(\displaystyle a\)
\(\displaystyle =\frac{a^{\,9}}{a^{\,11}}=\)
\(\displaystyle 1\)
\(\displaystyle a\)
Решение

Информация

"Мотивация определения отрицательной степени"

Так как мы умеем вычитать лишь из большей степени меньшую, то, разделив и числитель, и знаменатель дроби на величину, равную числителю, получаем:

\(\displaystyle \frac{a^{\,9}}{a^{\,11}}=\frac{a^{\,9}:a^{\,9}}{a^{\,11}:a^{\,9}}=\frac{1}{a^{\,11}:a^{\,9}}=\frac{1}{a^{\, 11\,-\,9}}=\frac{1}{a^{\,2}}.\)

 

Если же предположить, что свойство вычитания степеней является верным и при вычитании из меньшей степени большей, то мы могли бы записать:

\(\displaystyle \frac{a^{\,9}}{a^{\,11}}=a^{\,9\:-\:11}=a^{\,-2}.\)

В этом случае с одной стороны

\(\displaystyle \frac{a^{\,9}}{a^{\,11}}=\frac{1}{a^{\,2}},\)

а с другой стороны

\(\displaystyle \frac{a^{\,9}}{a^{\,11}}=a^{\,-2},\)

и тогда выполнялось бы равенство:

\(\displaystyle a^{\,-2}=\frac{1}{a^{\,2}}.\)

На основе вышеизложенного введем определение для отрицательной степени числа.

Определение

Отрицательная целая степень числа

Для любого ненулевого числа \(\displaystyle a\) и целого числа \(\displaystyle n\) полагаем:

\(\displaystyle a^{\,-n}=\frac{1}{a^{\: n}}.\)

Так как определение отрицательной степени мы ввели так, чтобы свойство вычитания степеней выполнялось для любых натуральных чисел, то

\(\displaystyle a^{\,9\,-\,11}=\frac{a^{\,9}}{a^{\,11}}=\frac{1}{a^{\,11\,-\,9}},\)

и, следовательно,

\(\displaystyle a^{\,-2}=\frac{a^{\,9}}{a^{\,11}}=\frac{1}{a^{\,2}}.\)

Ответ: \(\displaystyle a^{\,-2}=\frac{a^{\,9}}{a^{\,11}}=\frac{1}{a^{\,2}}.\)