Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(\displaystyle 3 \sqrt 2 {\small.}\) Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Так как цилиндр и конус имеют общее основание, то и радиус основания у них один.
Введем обозначения:
По условию высота цилиндра равна радиусу основания: \(\displaystyle h=r\small .\) |
Известна площадь боковой поверхности цилиндра. Требуется найти площадь боковой поверхности конуса.
Формулы для вычисления площади боковой поверхности конуса и цилиндра имеют вид:
\(\displaystyle S_{бок \,кон}=\pi \cdot r\cdot l \) и \(\displaystyle S_{бок \, ц}=2\pi r \cdot h \small . \)
Так как \(\displaystyle h=r\small ,\) то
\(\displaystyle S_{бок \, ц}=2\pi r \cdot r =2\pi r^2 {\small .} \)
Значит, для вычисления площади боковой поверхности цилиндра необходима только величина \(\displaystyle r{\small.}\)
Выразим площадь боковой поверхности конуса также только через радиус основания.
Для этого выразим через \(\displaystyle r\) образующую конуса \(\displaystyle l {\small :}\)
\(\displaystyle l=r\sqrt{2} \)
Рассмотрим треугольник, образованный высотой, радиусом и образующей конуса.
Высота конуса перпендикулярна плоскости основания, радиус лежит в плоскости основания, поэтому высота перпендикулярна радиусу.
Значит, рассматриваемый треугольник – прямоугольный с равными катетами \(\displaystyle h=r\) и гипотенузой \(\displaystyle l \small .\)
По теореме Пифагора: \(\displaystyle l^2=r^2+r^2 \small ,\) \(\displaystyle l^2=2r^2 \small .\) Так как \(\displaystyle l\) – длина отрезка, то \(\displaystyle l>0 \small ,\) поэтому \(\displaystyle l=r \sqrt2 \small .\) |
Подставив найденное значение \(\displaystyle l\) в формулу площади боковой поверхности конуса, получаем:
\(\displaystyle S_{бок \,кон}=\pi \cdot r\cdot l=\pi \cdot r\cdot r \sqrt2=\pi \sqrt2 \cdot r^2 { \small .} \)
Таким образом, обе площади поверхности выражены через \(\displaystyle r^2{\small:}\)
\(\displaystyle S_{бок \,кон}=\pi \sqrt2 \cdot r^2\) и \(\displaystyle S_{бок \, ц}=2\pi r^2 \small . \)
Найдем \(\displaystyle r^2 \) из известной площади боковой поверхности цилиндра\(\displaystyle S_{бок \, ц}=3 \sqrt 2 \)
\(\displaystyle r^2 = \frac {3 \sqrt 2}{2\pi}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}S_{бок \, ц}&=2\pi r^2 \small , \\3 \sqrt 2 &= 2\pi r^2 \ \ \color{red}{\bigg| : 2\pi}{ \small ,} \\r^2 &= \frac {3 \sqrt 2}{2\pi}\end{aligned}\)
и подставим в формулу боковой поверхности конуса:
\(\displaystyle S_{бок \,кон}= \pi \sqrt2 \cdot r^2 = \pi \sqrt2\cdot \frac {3 \sqrt 2}{2\pi} = 3 { \small .} \)
Значит, площадь боковой поверхности конуса равна \(\displaystyle 3 { \small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 3{\small .} \)