Skip to main content

Теория: 01 Отрезки и углы

Задание

Биссектрисы углов \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle D\) параллелограмма \(\displaystyle ABCD\) пересекаются в точке \(\displaystyle M {\small,}\) лежащей на стороне \(\displaystyle BC {\small.}\)

\(\displaystyle a) \)Докажите, что точка \(\displaystyle M\) равноудалена от прямых \(\displaystyle AB {\small,}\) \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle CD {\small.}\)

\(\displaystyle б) \) Найдите высоту параллелограмма, проведённую к стороне \(\displaystyle AB {\small,}\) если расстояние от точки \(\displaystyle M\) до прямой \(\displaystyle AD\) равно \(\displaystyle 9{\small.}\)

Решение

\(\displaystyle a) \)Выполним построение по условию задачи.

\(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм.

\(\displaystyle AM\) – биссектриса угла \(\displaystyle A{\small.}\) 

\(\displaystyle DM\) – биссектриса угла \(\displaystyle D{\small.}\) 

Точка \(\displaystyle M\) лежит на стороне \(\displaystyle BC{\small.}\)

 

Требуется доказать, что точка \(\displaystyle M\) равноудалена от прямых \(\displaystyle AB {\small,}\) \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle CD {\small.}\)

То есть доказать, что равны расстояния от точки \(\displaystyle M\) до прямых \(\displaystyle AB {\small,}\) \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle CD {\small.}\)

Определение

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Перпендикуляр – это кратчайшее расстояние от точки до прямой.

Выполним дополнительные построения.

Из точки \(\displaystyle M\) проведём перпендикуляры к прямым  \(\displaystyle AB {\small,}\) \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle CD {\small.}\)

\(\displaystyle MH \perp AB {\small;}\)

\(\displaystyle MK \perp AD {\small;}\)

\(\displaystyle MP \perp CD{\small.}\)

Докажем, что \(\displaystyle MH=MK=MP{\small.}\)

 

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\displaystyle AMH\) и \(\displaystyle AMK{\small.}\)

  • \(\displaystyle \angle MAH= \angle MAK{\small;}\)
  • \(\displaystyle AM\) – общая сторона (гипотенуза).

Следовательно, \(\displaystyle \triangle AMH=\triangle AMK\) по гипотенузе и острому углу.

В равных треугольниках соответственные стороны равны. Значит,

\(\displaystyle MH=MK{\small.}\)

 

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\displaystyle DMK\) и \(\displaystyle DMP{\small.}\)

  • \(\displaystyle \angle MDK= \angle MDP{\small;}\)
  • \(\displaystyle DM\) – общая сторона (гипотенуза).

Следовательно, \(\displaystyle \triangle DMK=\triangle DMP\) по гипотенузе и острому углу.

В равных треугольниках соответственные стороны равны. Значит,

\(\displaystyle MK=MP{\small.}\)

 

Получили

\(\displaystyle MH=MK=MP{\small.}\)

Следовательно,  точка \(\displaystyle M\) равноудалена от прямых \(\displaystyle AB {\small,}\) \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle CD {\small.}\)

Утверждение доказано.

 

\(\displaystyle б)\) По условию задачи расстояние от точки \(\displaystyle M\) до прямой \(\displaystyle AD\) равно \(\displaystyle 9{\small.}\) То есть \(\displaystyle MK=9{\small.}\)

Высота параллелограмма \(\displaystyle ABCD\), проведенная к стороне \(\displaystyle AB{\small,}\) равна расстоянию между параллельными прямыми \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD{\small,}\) то есть длине перпендикуляра \(\displaystyle PH\) (смотри рисунок).

\(\displaystyle PH=MP+MH{\small.}\)

Так как \(\displaystyle MH=MP=MK=9{\small,}\) то

\(\displaystyle PH=9+9=18{\small.}\)

Следовательно, высота параллелограмма, проведённая к стороне \(\displaystyle AB {\small,}\) равна \(\displaystyle 18{\small.}\)

 

Ответ: \(\displaystyle б)\ 18 {\small.}\)