Skip to main content

Теориясы: 10 Модулі бар элементар сызықтық теңсіздіктер

Тапсырма

Теңсіздікті шешіңіз:

\(\displaystyle |x|>7{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Шешім

\(\displaystyle |x|>7\) теңсіздігін эквивалентті теңсіздіктер жүйесі түрінде жазайық.

Анықтама бойынша

Определение

Модуль

\(\displaystyle x\) айнымалысы үшін \(\displaystyle |x|{ \small }\) деп белгіленген \(\displaystyle x{ \small }\) модуль функциясы келесідей анықталады 

\(\displaystyle |x|=\left\{\begin{aligned}x, & \text{ егер } x\ge 0{ \small ,}\\-x,& \text{ егер } x< 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

екі жағдайды аламыз:

  • \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\) сонда \(\displaystyle |x|=x{ \small ,}\)
  • \(\displaystyle x<0{ \small ,}\) сонда \(\displaystyle |x|=-x{\small .}\)

Сондықтан,

  • егер \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\) онда \(\displaystyle x >7{\small .}\) Яғни
    \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x&\ge 0{ \small ,}\\ x &>7{\small .} \end{aligned} \right.\)
  • егер \(\displaystyle x< 0{ \small ,}\) онда \(\displaystyle -x >7{\small .}\) Яғни
    \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&< 0{ \small ,}\\ -x &>7{\small .} \end{aligned} \right.\)

Демек, \(\displaystyle |x| >7\) теңсіздігі екі жүйенің жиынтығына тең:

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\ge 0{ \small ,}\\ x &>7 \end{aligned} \right.\)немесе\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 { \small ,}\\ -x &>7{\small .} \end{aligned} \right.\)

 

Осы екі жүйені шешейік.
 

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\ge 0{ \small ,}\\ x &>7 \end{aligned} \right.\)

\(\displaystyle x\ge 0\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:

\(\displaystyle x>7\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:

Осылайша, \(\displaystyle x\) айнымалысы бір уақытта \(\displaystyle 0\) артық немесе тең және \(\displaystyle 7\) артық болады: 

Алынған қиылысу теңсіздіктердің бастапқы жүйесінің шешімі болады.

Демек, шешімі – \(\displaystyle x\in (7;+\infty){\small .} \)


 

немесе

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 { \small ,}\\ -x &>7{\small .} \end{aligned} \right.\)

Екінші теңсіздіктің екі бөлігін де \(\displaystyle -1\) көбейтейік:

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 \\ -x &>7 \,| \cdot (\color{blue}{ -1}) \end{aligned} \right.\)

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 { \small ,}\\ x &<-7{\small .} \end{aligned} \right.\)

\(\displaystyle x< 0\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:

\(\displaystyle x<-7\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:

Осылайша, \(\displaystyle x\) айнымалысы бір уақытта \(\displaystyle 0\) кем және \(\displaystyle -7\) кем болады:

Алынған қиылысу теңсіздіктердің бастапқы жүйесінің шешімі болады.

Демек, шешімі – \(\displaystyle x\in (-\infty;-7){\small .} \)

Осылайша, төмендегілерді алдық:

\(\displaystyle x\in (7;+\infty)\qquad\) немесе \(\displaystyle \qquad x\in (-\infty;-7) \)


Жауабы: \(\displaystyle x\in (-\infty;-7)\cup (7;+\infty){\small .} \)