Skip to main content

Теориясы: 10 Модулі бар элементар сызықтық теңсіздіктер

Тапсырма

Теңсіздікті шешіңіз:

\(\displaystyle |x|\le -4{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Шешім

\(\displaystyle |x|\le -4\) теңсіздігін эквивалентті теңсіздіктер жүйесі түрінде жазайық.

Анықтама бойынша

Определение

Модуль

\(\displaystyle x\) айнымалысы үшін \(\displaystyle |x|{ \small }\) деп белгіленген \(\displaystyle x{ \small }\) модуль функциясы келесідей анықталады 

\(\displaystyle |x|=\left\{\begin{aligned}x, & \text{ егер } x\ge 0{ \small ,}\\-x,& \text{ егер } x< 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

екі жағдайды аламыз:

  • \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\) сонда \(\displaystyle |x|=x{ \small ,}\)
  • \(\displaystyle x<0{ \small ,}\) сонда \(\displaystyle |x|=-x{\small .}\)

Сондықтан,

  • егер \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\) онда \(\displaystyle x \le -4{\small .}\) Яғни
    \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x&\ge 0{ \small ,}\\ x &\le -4{\small .} \end{aligned} \right.\)
  • егер \(\displaystyle x< 0{ \small ,}\) онда \(\displaystyle -x \le -4{\small .}\) Яғни
    \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&< 0{ \small ,}\\ -x &\le -4{\small .} \end{aligned} \right.\)

Демек, \(\displaystyle |x| \le -4\) теңсіздігі екі жүйенің жиынтығына тең:

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\ge 0{ \small ,}\\ x &\le -4 \end{aligned} \right.\)немесе\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 { \small ,}\\ -x &\le -4{\small .} \end{aligned} \right.\)

 

Осы екі жүйені шешейік.

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\ge 0{ \small ,}\\ x &\le -4 \end{aligned} \right.\)

\(\displaystyle x\ge 0\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:


\(\displaystyle x\le -4\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:


Осылайша, \(\displaystyle x\) айнымалысы бір уақытта \(\displaystyle 0\) артық немесе тең және \(\displaystyle -4\) кем немесе тең болады:

 

Қиылысуда ортақ нүктелер болмағандықтан, теңсіздіктер жүйесінде шешімдер жоқ.

Сондықтан шешімдер жиыны бос.

немесе

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 { \small ,}\\ -x &\le -4{\small .} \end{aligned} \right.\)

Екінші теңсіздіктің екі бөлігін де \(\displaystyle -4\) көбейтейік:

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 \\ -x &\le -4 \,| \cdot (\color{blue}{ -4}) \end{aligned} \right.\)

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 { \small ,}\\ x &\ge 4{\small .} \end{aligned} \right.\)

\(\displaystyle x< 0\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:


\(\displaystyle x\ge 4\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:


Осылайша, \(\displaystyle x\) айнымалысы бір уақытта \(\displaystyle 0\) кем және \(\displaystyle 4\) артық немесе тең болады:

 

Қиылысуда ортақ нүктелер болмағандықтан, теңсіздіктер жүйесінде шешімдер жоқ.

Сондықтан шешімдер жиыны бос.

 

Осылайша, екі жағдайда да шешімдер жиыны бос.


Жауабы: \(\displaystyle x\in \{\emptyset\}{\small .} \)

Замечание / комментарий

Сан модулі анықтамасы бойынша шешім

Кез келген \(\displaystyle x\) саны үшін модульдің анықтамасы бойынша келесі дұрыс болғандықтан

\(\displaystyle |x| \ge 0{\small ,} \)

онда \(\displaystyle |x| <0{\small }\) болатын бірде-бір сан жоқ. 

Егер \(\displaystyle |x| \le -4\) болса, онда \(\displaystyle |x| <0,\) себебі \(\displaystyle -4<0.\) Бірақ \(\displaystyle |x| <0\) теңсіздігінің шешімі жоқ, сондықтан \(\displaystyle |x| \le-4\) теңсіздігінің де шешімі жоқ.

Басқаша айтқанда, \(\displaystyle |x| \le -4\) теңсіздігінің шешімдер жиыны бос.