Skip to main content

Теориясы: 10 Модулі бар элементар сызықтық теңсіздіктер

Тапсырма

Теңсіздікті шешіңіз:

\(\displaystyle |x|>-6{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Шешім

\(\displaystyle |x|>-6\) теңсіздігін эквивалентті теңсіздіктер жүйесі түрінде жазайық.

Анықтама бойынша

Определение

Модуль

\(\displaystyle x\) айнымалысы үшін \(\displaystyle |x|{ \small }\) деп белгіленген \(\displaystyle x{ \small }\) модуль функциясы келесідей анықталады

\(\displaystyle |x|=\left\{\begin{aligned}x, & \text{ егер } x\ge 0{ \small ,}\\-x,& \text{ егер } x< 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

екі жағдайды аламыз:

  • \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\) сонда \(\displaystyle |x|=x{ \small ,}\)
  • \(\displaystyle x<0{ \small ,}\) сонда \(\displaystyle |x|=-x{\small .}\)

Сондықтан,

  • егер \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\) онда \(\displaystyle x >-6{\small .}\) Яғни
    \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x&\ge 0{ \small ,}\\ x &>-6{\small .} \end{aligned} \right.\)
  • егер \(\displaystyle x< 0{ \small ,}\) онда \(\displaystyle -x >-6{\small .}\) Яғни
    \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&< 0{ \small ,}\\ -x &>-6{\small .} \end{aligned} \right.\)

Демек, \(\displaystyle |x| >-6\) теңсіздігі екі жүйенің жиынтығына тең:

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\ge 0{ \small ,}\\ x &>-6 \end{aligned} \right.\)немесе\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 { \small ,}\\ -x &>-6{\small .} \end{aligned} \right.\)

 

Осы екі жүйені шешейік.
 

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\ge 0{ \small ,}\\ x &>-6 \end{aligned} \right.\)

\(\displaystyle x\ge 0\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:


\(\displaystyle x>-6\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:


Осылайша, \(\displaystyle x\) айнымалысы бір уақытта \(\displaystyle 0\) артық немесе тең және \(\displaystyle -6\) артық болады:   


Демек, шешімі – \(\displaystyle x\in [0;+\infty){\small .} \)


 

немесе

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 { \small ,}\\ -x &>-6{\small .} \end{aligned} \right.\)

Екінші теңсіздіктің екі бөлігін де \(\displaystyle -1\) көбейтейік:

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 \\ -x &>-6 \,| \cdot (\color{blue}{ -1}) \end{aligned} \right.\)

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 { \small ,}\\ x &<6{\small .} \end{aligned} \right.\)

\(\displaystyle x< 0\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:


\(\displaystyle x<6\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:


Осылайша, \(\displaystyle x\) айнымалысы бір уақытта \(\displaystyle 0\) кем  және \(\displaystyle 6\) кем болады: 


Демек, шешімі – \(\displaystyle x\in (-\infty;0){\small .} \)

 

Осылайша, төмендегілерді алдық:

\(\displaystyle x\in [0;+\infty)\qquad\) немесе \(\displaystyle \qquad x\in (-\infty;0) \)

Біріктіре отырып, келесіні аламыз:

\(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty){\small .} \)


Жауабы: \(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty){\small .} \)

Замечание / комментарий

Сан модулі анықтамасы бойынша шешім

Кез келген \(\displaystyle x\) саны үшін модульдің анықтамасы бойынша келесі дұрыс

\(\displaystyle |x| \ge 0{\small .} \)

\(\displaystyle |x| \ge 0>-6 { \small }\) болғандықтан, онда кез-келген \(\displaystyle x\) саны үшін төмендегі дұрыс

\(\displaystyle |x| >-6{\small .} \)

Осылайша, барлық сандар \(\displaystyle |x| >-6 \) теңсіздігінің шешімі болып табылады Мұны келесідей жазуға болады 

\(\displaystyle x\in (-\infty;+\infty){\small .} \)