Skip to main content

Теориясы: 10 Модулі бар элементар сызықтық теңсіздіктер

Тапсырма

Теңсіздікті шешіңіз:

\(\displaystyle |x|\le 2{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Шешім

\(\displaystyle |x|\le 2\) теңсіздігін эквивалентті теңсіздіктер жүйесі түрінде жазайық.

Анықтама бойынша

Определение

Модуль

\(\displaystyle x\) айнымалысы үшін \(\displaystyle |x|{ \small }\) деп белгіленген \(\displaystyle x{ \small }\) модуль функциясы келесідей анықталады 

\(\displaystyle |x|=\left\{\begin{aligned}x, & \text{ егер } x\ge 0{ \small ,}\\-x,& \text{ егер } x< 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

екі жағдайды аламыз:

  • \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\) сонда \(\displaystyle |x|=x{ \small ,}\)
  • \(\displaystyle x<0{ \small ,}\) сонда \(\displaystyle |x|=-x{\small .}\)

Сондықтан,

  • егер \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\) онда \(\displaystyle x \le 2{\small .}\) Яғни
    \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x\ge 0{ \small ,}\\ x \le 2{\small .} \end{aligned} \right.\)
  • егер \(\displaystyle x< 0{ \small ,}\) онда \(\displaystyle -x \le 2{\small .}\) Яғни
    \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x< 0{ \small ,}\\ -x \le 2{\small .} \end{aligned} \right.\)

Демек, \(\displaystyle |x| \le 2\) теңсіздігі екі жүйенің жиынтығына тең:

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\ge 0{ \small ,}\\ x &\le 2 \end{aligned} \right.\)немесе\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 { \small ,}\\ -x &\le 2{\small .} \end{aligned} \right.\)

 

Осы екі жүйені шешейік.
 

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\ge 0{ \small ,}\\ x &\le 2 \end{aligned} \right.\)

\(\displaystyle x\ge 0\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:


\(\displaystyle x\le 2\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:


Осылайша, \(\displaystyle x\) айнымалысы бір уақытта \(\displaystyle 0\) артық немесе тең және \(\displaystyle 2\) кем немесе тең  болады:

Алынған қиылысу теңсіздіктердің бастапқы жүйесінің шешімі болады.

Демек, шешімі – \(\displaystyle x\in [0;2]{\small .} \)


 

немесе

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 { \small ,}\\ -x &\le 2{\small .} \end{aligned} \right.\)

Екінші теңсіздіктің екі бөлігін де \(\displaystyle -1\) көбейтейік:

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 \\ -x &\le 2 \,| \cdot(\color{blue}{ -1}) \end{aligned} \right.\)

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<0 { \small ,}\\ x &\ge -2{\small .} \end{aligned} \right.\)

\(\displaystyle x< 0\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:


\(\displaystyle x\ge -2\) теңсіздігі түзудегі нүктелер жиынына сәйкес келеді:


Осылайша, \(\displaystyle x\) айнымалысы бір уақытта \(\displaystyle 0\) кем және \(\displaystyle -2\) артық немесе тең болады:

Алынған қиылысу теңсіздіктердің бастапқы жүйесінің шешімі болады.

Демек, шешімі – \(\displaystyle x\in [-2;0){\small .} \)

 

Осылайша, төмендегілерді алдық:

\(\displaystyle x\in [-2;0)\qquad\) немесе \(\displaystyle \qquad x\in [0;2] \)

Біріктіру арқылы келесіні аламыз:

\(\displaystyle x\in [-2;2]{\small .}\)

Жауабы: \(\displaystyle x\in [-2;2]{\small .} \)