Теңдеуі
\(\displaystyle \cos(x)\left(2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1\right)=\cos(x+\pi){\small.}\)
екі қарапайым тригонометриялық теңдеуге тең:
\(\displaystyle \cos(x)=0\) немесе \(\displaystyle \cos(x)=-1{\small.}\)
Теңдеуді ықшамдау қажет.
Сондықтан \(\displaystyle \cos\left(x+\pi\right) \) арқылы \(\displaystyle \cos(x){ \small}\) келтіру формуласын қолданамыз,
\(\displaystyle \cos(x+\pi)=-\cos(x){\small.}\)
Жақшадағы өрнекті ықшамдау үшін, жарты бұрыш формуласын қолданамыз:
\(\displaystyle \cos(x)=2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1{\small.}\)
Келтіру формуласын пайдаланып оң жағын ықшамдаймыз:
\(\displaystyle \cos(x+\pi)=-\cos(x){\small.}\)
Жарты бұрышты формуланы пайдаланып жақшадағы өрнекті ықшамдаймыз:
\(\displaystyle 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1=\cos(x){\small.}\)
Нәтижесінде:
\(\displaystyle \cos(x)\color{blue}{\left(2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1\right)}=\color{green}{\cos(x+\pi)}{\small,}\)
\(\displaystyle \cos(x)\cdot\color{blue}{\cos(x)}=\color{green}{-\cos(x)}{\small.}\)
Сонда не \(\displaystyle \cos(x)=0{\small}\) немесе сол және оң жақтарын \(\displaystyle \cos(x){\small}\) азайтуға болады.
\(\displaystyle \cos(x)\cdot\cancel{\cos(x)}=\cancel{-\cos(x)}{\small.}\)
\(\displaystyle \cos(x)=-1{\small.}\)
Демек, \(\displaystyle \cos(x)\left(2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1\right)=\cos(x+\pi)\) теңдеуі екі қарапайым тригонометриялыққа мәндес:
\(\displaystyle \cos(x)=0\) немесе \(\displaystyle \cos(x)=-1{\small.}\)