Skip to main content

Теория: 03 Уравнение \(\displaystyle \cos(x)\left(2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1\right)=\cos(x+\pi)\)

Задание

Информация

Уравнение \(\displaystyle \cos(x)\left(2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1\right)=\cos(x+\pi)\) равносильно двум уравнениям:

\(\displaystyle \cos(x)=0\)  или \(\displaystyle \cos(x)=-1{\small .}\)

Уравнение \(\displaystyle \cos(x)=0\) имеет решения:

\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{2}+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} \) и \(\displaystyle x_2=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} {\small .}\)

Выберите корни уравнения \(\displaystyle \cos(x)=0\) из промежутка \(\displaystyle \left[\frac{\pi}{2};\, 2\pi \right]{\small.}\)

\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{2}\) и \(\displaystyle x_2=\frac{3\pi}{2}\)

 

Решение

Выберем корни из отрезка \(\displaystyle \left[\frac{\pi}{2};\, 2\pi\right]{\small .}\)

Для \(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{2}+2\pi n\) подходит решение \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\).

Выделим отрезок \(\displaystyle \left[\frac{\pi}{2};\, 2\pi\right]\) на тригонометрической окружности:

Видим, что одна из точек вида \(\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi n\) попала в необходимый отрезок.

Найдем ее.

 Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что

\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\leqslant x_1 \leqslant 2\pi{ \small .}\)

 То есть

\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\leqslant \frac{\pi}{2}+2\pi n\leqslant 2\pi{ \small .}\)

 Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{1}{2}\leqslant \frac{1}{2}+2n\leqslant 2{\small .}\)

 Вычтем из каждой части \(\displaystyle \frac{1}{2}{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{1}{2}- \frac{1}{2}\leqslant 2n\leqslant 2- \frac{1}{2}{ \small ,}\)

\(\displaystyle 0\leqslant2n\leqslant \frac{3}{2}{ \small .}\)

 Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)

\(\displaystyle 0\leqslant n \leqslant \frac{3}{4}{ \small ,}\)

Единственное целое число в этом промежутке – это \(\displaystyle 0,\) то есть \(\displaystyle n=0{\small .}\)

 Подставляя \(\displaystyle n=0\) в \(\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi n{ \small ,}\) получаем:

\(\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi \cdot 0=\frac{\pi}{2}{\small .}\)

Для \(\displaystyle x_2=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\) подходит решение \(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\).

Выделим отрезок \(\displaystyle \left[\frac{\pi}{2};\, 2\pi\right]\) на тригонометрической окружности:

Видим, что одна из точек вида \(\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi n\) попала в необходимый отрезок.

Найдем ее.

 Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что

\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\leqslant x_1 \leqslant 2\pi{ \small .}\)

 То есть

\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\leqslant -\frac{\pi}{2}+2\pi n\leqslant 2\pi{ \small .}\)

 Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{1}{2}\leqslant -\frac{1}{2}+2n\leqslant 2{\small .}\)

 Прибавим к каждой части \(\displaystyle \frac{1}{2}{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\leqslant 2n\leqslant 2+ \frac{1}{2}{ \small ,}\)

\(\displaystyle 1\leqslant2n\leqslant \frac{5}{2}{ \small .}\)

 Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)

\(\displaystyle \frac{1}{2}\leqslant n \leqslant \frac{5}{4}{ \small ,}\)

Единственное целое число в этом промежутке – это \(\displaystyle 0,\) то есть \(\displaystyle n=1{\small .}\)

 Подставляя \(\displaystyle n=1\) в \(\displaystyle -\frac{\pi}{2}+2\pi n{ \small ,}\) получаем:

\(\displaystyle -\frac{\pi}{2}+2\pi \cdot 1=\frac{3\pi}{2}{\small .}\)

Таким образом, уравнение \(\displaystyle \cos(x)=0\) на отрезке \(\displaystyle \left[\frac{\pi}{2};\, 2\pi\right]\) имеет решения \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) и \(\displaystyle \frac{3\pi}{2}{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) и \(\displaystyle \frac{3\pi}{2}{\small .}\)