Skip to main content

Теориясы: 03 \(\displaystyle \cos(x)\left(2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1\right)=\cos(x+\pi)\) теңдеуі

Тапсырма

Информация

\(\displaystyle \cos(x)\left(2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1\right)=\cos(x+\pi)\) теңдеуі екі теңдеуге тең::

\(\displaystyle \cos(x)=0\) немесе \(\displaystyle \cos(x)=-1{\small .}\)

\(\displaystyle \cos(x)=0\) теңдеуінің шешімдері бар:

\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{2}+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} \) және \(\displaystyle x_2=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} {\small .}\)

 \(\displaystyle \cos(x)=0\) аралықтан \(\displaystyle \left[\frac{\pi}{2};\, 2\pi \right]{\small}\) теңдеуінің түбірлерін таңдаңыз.

\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{2}\) және \(\displaystyle x_2=\frac{3\pi}{2}\)

 

Шешім

\(\displaystyle \left[\frac{\pi}{2};\, 2\pi\right]{\small}\) кесіндісінен түбірлерді таңдаймыз.

\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{2}+2\pi n\) үшін \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) қолайлы шешім.

Тригонометриялық шеңберде \(\displaystyle \left[\frac{\pi}{2};\, 2\pi\right]\) кесіндіні таңдаңыз:

\(\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi n\)пішін нүктелерінің бірі қажетті кесіндіге түскенін көреміз.

Оны табамыз.

 Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз

\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\leqslant x_1 \leqslant 2\pi{ \small .}\)

 Яғни

\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\leqslant \frac{\pi}{2}+2\pi n\leqslant 2\pi{ \small .}\)

 Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small }\) оң санға бөлейік:

\(\displaystyle \frac{1}{2}\leqslant \frac{1}{2}+2n\leqslant 2{\small .}\)

 Әр бөліктен \(\displaystyle \frac{1}{2}{\small}\) алып тастаймыз:

\(\displaystyle \frac{1}{2}- \frac{1}{2}\leqslant 2n\leqslant 2- \frac{1}{2}{ \small ,}\)

\(\displaystyle 0\leqslant2n\leqslant \frac{3}{2}{ \small .}\)

  \(\displaystyle n{ \small}\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small }\) бөлеміз:

\(\displaystyle 0\leqslant n \leqslant \frac{3}{4}{ \small ,}\)

Бұл аралықтағы жалғыз бүтін сан \(\displaystyle 0,\) яғни \(\displaystyle n=0{\small .}\)

 \(\displaystyle n=0\) ауыстыру арқылы  \(\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi n{ \small ,}\) аламыз:

\(\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi \cdot 0=\frac{\pi}{2}{\small .}\)

\(\displaystyle x_2=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\) үшін \(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\) қолайлы шешім.

Тригонометриялық шеңберде  \(\displaystyle \left[\frac{\pi}{2};\, 2\pi\right]\) кесіндіні таңдаңыз:

\(\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi n\) пішін нүктелерінің бірі қажетті кесіндіге түскенін көреміз.

 

Оны табамыз.

 Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз

\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\leqslant x_1 \leqslant 2\pi{ \small .}\)

 Яғни

\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\leqslant -\frac{\pi}{2}+2\pi n\leqslant 2\pi{ \small .}\)

 Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small}\) оң санға бөлейік:

\(\displaystyle \frac{1}{2}\leqslant -\frac{1}{2}+2n\leqslant 2{\small .}\)

 Әр бөліктен \(\displaystyle \frac{1}{2}{\small}\) алып тастаймыз:

\(\displaystyle \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\leqslant 2n\leqslant 2+ \frac{1}{2}{ \small ,}\)

\(\displaystyle 1\leqslant2n\leqslant \frac{5}{2}{ \small .}\)

 \(\displaystyle n{ \small}\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small }\) бөлеміз:

\(\displaystyle \frac{1}{2}\leqslant n \leqslant \frac{5}{4}{ \small ,}\)

Бұл аралықтағы жалғыз бүтін сан \(\displaystyle 0,\) яғни \(\displaystyle n=1{\small .}\)

 \(\displaystyle n=1\) ауыстыру арқылы  \(\displaystyle -\frac{\pi}{2}+2\pi n{ \small ,}\) аламыз:

\(\displaystyle -\frac{\pi}{2}+2\pi \cdot 1=\frac{3\pi}{2}{\small .}\)

Осылайша, \(\displaystyle \cos(x)=0\) теңдеуінің \(\displaystyle \left[\frac{\pi}{2};\, 2\pi\right]\) кесіндісінде \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) және \(\displaystyle \frac{3\pi}{2}{\small}\) шешімдері бар.

Жауабы: \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) және \(\displaystyle \frac{3\pi}{2}{\small .}\)