На рисунке изображены графики функций \(\displaystyle f\left(x\right)=a\sqrt{x} \) и \(\displaystyle g\left(x\right)=kx+b{ \small ,}\) которые пересекаются в точке \(\displaystyle A{\small . }\) Найдите абсциссу точки \(\displaystyle A{\small . }\)
По условию задачи рафики функций \(\displaystyle f\left(x\right)=a\sqrt{x} \) и \(\displaystyle g\left(x\right)=kx+b\) пересекаются в точке \(\displaystyle A{\small . }\) Самой точки \(\displaystyle A\) на рисунке не видно.
1. Найдем коэффициент \(\displaystyle a\) из уравнения функции \(\displaystyle f\left(x\right)=a\sqrt{x}{ \small .}\)
Заметим, что на графике функции \(\displaystyle f\left(x\right)=a\sqrt{x}\) отмечена точка с координатами \(\displaystyle (\color{blue}{4};\color{green}{5}){ \small .}\)
Значит, при подстановке её координат \(\displaystyle x=\color{blue}4\) и \(\displaystyle y=\color{green}5\) в уравнение \(\displaystyle y=a \sqrt{x}\) получим верное равенство.
Подставляя, получаем уравнение:
\(\displaystyle \color{green}5=a\cdot \sqrt{\color{blue}4}{ \small ,} \)
\(\displaystyle 5=a \cdot 2{ \small ,} \)
откуда
\(\displaystyle a=2{,}5{ \small .}\)
Таким образом, исходная функция имеет вид:
\(\displaystyle f\left(x\right)=2{,}5\sqrt{x} \small.\)
2. Найдем коэффициенты \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle b\) из уравнения прямой \(\displaystyle g\left(x\right)=kx+b{ \small .}\)
По рисунку видим, что точки \(\displaystyle С\) c координатами \(\displaystyle (2;-2)\) и \(\displaystyle D\) c координатами \(\displaystyle (4;-1)\) принадлежат графику функции \(\displaystyle g\left(x\right)=kx+b{ \small .}\)
Подставим координаты точек \(\displaystyle C(2;\,-2)\) и \(\displaystyle D(4;-1)\) в уравнение прямой \(\displaystyle y=kx+b\,{\small . } \)
Точка \(\displaystyle C(\color{blue}{ 2};\color{green}{-2}) \) имеет координаты \(\displaystyle x=\color{blue}{ 2}\) и \(\displaystyle y=\color{green}{ -2}{\small , }\) поэтому
\(\displaystyle \color{green}{-2}=k\cdot \color{blue}{ 2}+b \)
или, что то же самое,
\(\displaystyle 2k+b=-2{\small . }\)
Точка \(\displaystyle D(\color{blue}{ 4};\color{green}{ -1}) \) имеет координаты \(\displaystyle x=\color{blue}{ 4}\) и \(\displaystyle y=\color{green}{ -1}{\small , }\) поэтому
\(\displaystyle \color{green}{ -1}=k\cdot \color{blue}{ 4}+b {\small , }\)
или, что то же самое,
\(\displaystyle 4 k+b=-1{\small . } \)
Мы получили два уравнения для коэффициентов \(\displaystyle k \) и \(\displaystyle b {\small . }\) Запишем систему уравнений:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2k+b&=-2{\small , }\\4k+b&=-1{\small . }\end{aligned}\right.\)
Решим эту систему.
Таким образом, \(\displaystyle k=0{,}5 \) и \(\displaystyle b=-3{\small . } \)
Подставляя найденные значения для \(\displaystyle k \) и \(\displaystyle b \) в уравнение прямой \(\displaystyle y=kx+b{\small , } \) получаем:
\(\displaystyle y=0{,}5x-3{\small . } \)
3. Найдем абсциссу точки \(\displaystyle A{ \small .}\)
Точка \(\displaystyle A\) – это точка пересечения графиков функций \(\displaystyle f\left(x\right)=2{,}5\sqrt{x}\) и \(\displaystyle g\left(x\right)=0{,}5x-3{\small . }\) Значит, её координаты удовлетворяют уравнениям обеих функций:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y&=2{,}5\sqrt{x}{ \small ,}\\y&=0{,}5x-3{ \small .}\end{aligned}\right. \)
Так как \(\displaystyle y=2{,}5\sqrt{x}\) и \(\displaystyle y=0{,}5x-3{ \small ,}\) то :
\(\displaystyle 2{,}5\sqrt{x}=0{,}5x-3 { \small .}\)
\(\displaystyle 2{,}5\sqrt{x}=0{,}5x-3 \phantom{1} \big| \cdot 2 { \small ,}\)
\(\displaystyle 5\sqrt{x}=x-6 { \small ,}\)
Решим полученное уравнение:
Иррациональное уравнение вида \(\displaystyle \small {\sqrt{f(x)}=g(x)}\) равносильно системе
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=g^2(x){ \small ,}\\g(x)&\ge0{ \small .}\end{aligned}\right. \)
Воспользуемся данным правилом.
Тогда уравнение \(\displaystyle 5\sqrt{x}=x-6\) равносильно системе:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}25x&=(x-6)^2{ \small ,}\\x-6&\ge0{ \small .}\end{aligned}\right. \)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}25x&=x^2-12x+36{ \small ,}\\x&\ge6{ \small .}\end{aligned}\right. \)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2-37x+36&=0{ \small ,}\\x&\ge6{ \small .}\end{aligned}\right. \)
Решим квадратное уравнение \(\displaystyle x^2-37x+36=0{\small.}\)
Корень \(\displaystyle x=1\) не удовлетворяет неравенству \(\displaystyle x\ge6{ \small .}\)
Корень \(\displaystyle x=36\) удовлетворяет неравенству \(\displaystyle x\ge6{ \small .}\)
Значит, решением иррационального уравнения \(\displaystyle 5\sqrt{x}=x-6\) является \(\displaystyle x=36{ \small .}\)
Таким образом, абсцисса точки \(\displaystyle A\) равна \(\displaystyle 36{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 36{\small.}\)