Өрнектің мәнін табыңыз:
\(\displaystyle 1{,}8^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}=\)
1-шешім.
\(\displaystyle 1{,}8\) жай бөлшек түрінде көрсетейік:
\(\displaystyle1{,}8=\frac{18}{10}=\frac{9}{5}{\small.}\)
\(\displaystyle 1{,}8\) орнына бастапқы өрнекке \(\displaystyle \frac{9}{5}{\small} \) бөлшегін қойайық:
\(\displaystyle\color{blue}{1{,}8}^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}=\left(\color{blue}{\frac{9}{5}}\right)^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}{\small.}\)
Дәрежелерді бірдей негіздерге келтірейік. Ол үшін негіздерді жай көбейткіштерге жіктейік:
\(\displaystyle 9=3^2 \) и \(\displaystyle 45=3^2\cdot 5{\small .}\)
Алмастыра отырып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle\left(\color{green}{\frac{9}{5}}\right)^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}=\left(\color{green}{\frac{3^2}{5}}\right)^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot (\color{blue}{3^2 \cdot 5})^{\frac{6}{7}}{\small.}\)
Бөлшекті дәрежелеу кезінде оның алымы мен бөлімі осы дәрежеге дәрежеленеді. Яғни
\(\displaystyle\left(\frac{3^2}{5}\right)^{\color{blue}{\frac{1}{7}}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot (3^2 \cdot 5)^{\frac{6}{7}}=\frac{\left(3^2\right)^{\color{blue}{\frac{1}{7}}}}{5^{\color{blue}{\frac{1}{7}}}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot (3^2 \cdot 5)^{\frac{6}{7}}=\frac{\left(3^2\right)^{{\frac{1}{7}}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot (3^2 \cdot 5)^{\frac{6}{7}}}{5^{{\frac{1}{7}}}}{\small.}\)
Жақшаларды ашайық. Дәрежені дәрежелеу кезінде дәреже көрсеткіштері көбейтілетіндіктен, төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle\frac{\left(3^2\right)^{\color{blue}{ \frac{1}{7}}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot (3^2 \cdot 5)^{\color{green}{ \frac{6}{7}}}}{5^{{\frac{1}{7}}}}=\frac{3^{2\cdot \color{blue}{ \frac{1}{7}}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{2\cdot {\color{green}{ \frac{6}{7}}}} \cdot 5^{\color{green}{ \frac{6}{7}}}}{5^{{\frac{1}{7}}}}=\frac{3^{\color{blue}{ \frac{2}{7}}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{{\color{green}{ \frac{12}{7}}}} \cdot 5^{\color{green}{ \frac{6}{7}}}}{5^{{\frac{1}{7}}}}{\small.}\)
Негіздері бірдей дәрежелерді көбейту кезінде осы дәрежелердің көрсеткіштері қосылады. Ал бөлу кезінде азайтылады. Демек,
\(\displaystyle\frac{3^{\color{blue}{\frac{2}{7}}} \cdot 5^{\color{green}{\frac{2}{7}}} \cdot 3^{\color{blue}{\frac{12}{7}}} \cdot 5^{\color{green}{\frac{6}{7}}}}{5^{\color{green}{\frac{1}{7}}}}=3^{\color{blue}{\frac{2}{7}+\frac{12}{7}}}\cdot5^{\color{green}{\frac{2}{7}+\frac{6}{7}-\frac{1}{7}}}=3^2 \cdot 5^1 =45{\small.}\)
Осылайша, келесіні аламыз:
\(\displaystyle \begin{aligned}1{,}8^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}&=\left(\frac{9}{5}\right)^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}=\left(\frac{3^2}{5}\right)^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot (3^2 \cdot 5)^{\frac{6}{7}}=\frac{\left(3^2\right)^{{\frac{1}{7}}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot (3^2 \cdot 5)^{\frac{6}{7}}}{5^{{\frac{1}{7}}}}=\\[10px]&=\frac{3^{\frac{2}{7}}\cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{\frac{12}{7}} \cdot 5^{{\frac{6}{7}}}}{5^{\frac{1}{7}}}=3^{{\frac{2}{7}+\frac{12}{7}}}\cdot5^{{\frac{2}{7}+\frac{6}{7}-\frac{1}{7}}}=3^2 \cdot 5^1 =45{\small.}\end{aligned}\)
Жауабы: \(\displaystyle 45{\small.}\)
2-шешім.
\(\displaystyle 1{,}8\) жай бөлшек түрінде көрсетейік:
\(\displaystyle1{,}8=\frac{18}{10}=\frac{9}{5}{\small.}\)
\(\displaystyle 1{,}8\) орнына бастапқы өрнекке \(\displaystyle \frac{9}{5}{\small} \) бөлшегін қойайық:
\(\displaystyle\color{blue}{1{,}8}^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}=\left(\color{blue}{\frac{9}{5}}\right)^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}{\small.}\)
Жақшаларды ашайық. Бөлшекті дәрежелеу кезінде оның алымы мен бөлімі сол дәрежеге дәрежеленеді. Яғни
\(\displaystyle\left(\frac{9}{5}\right)^{\color{blue}{\frac{1}{7}}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}=\frac{9^{\color{blue}{\frac{1}{7}}}}{5^{\color{blue}{\frac{1}{7}}}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}=\frac{9^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}}{5^{\frac{1}{7}}}{\small.}\)
Барлық дәрежелерді бірдей негіздерге келтірейік. Ол үшін (45) (9 cdot 5: ) ретінде көрсетейік
\(\displaystyle\frac{9^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot \color{blue}{ 45}^{\frac{6}{7}}}{5^{\frac{1}{7}}}=\frac{9^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot (\color{blue}{9 \cdot 5})^{\frac{6}{7}}}{5^{\frac{1}{7}}}{\small.}\)
Жақшаларды ашайық. Көбейтіндіні дәрежелеу кезінде көбейткіштердің әрқайсысы дәрежеленеді. Төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle\frac{9^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot (9 \cdot 5)^{\color{blue}{\frac{6}{7}}}}{5^{\frac{1}{7}}}=\frac{9^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 9^{\color{blue}{\frac{6}{7}}} \cdot 5^{\color{blue}{\frac{6}{7}}}}{5^{\frac{1}{7}}}{\small.}\)
Негіздері бірдей дәрежелерді көбейту кезінде дәреже көрсеткіштері қосылады. Ал бөлу кезінде азайтылады. Демек,
\(\displaystyle\frac{9^{\color{blue}{\frac{1}{7}}} \cdot 5^{\color{green}{\frac{2}{7}}} \cdot 9^{\color{blue}{\frac{6}{7}}} \cdot 5^{\color{green}{\frac{6}{7}}}}{5^{\color{green}{\frac{1}{7}}}}=9^{\color{blue}{\frac{1}{7}+\frac{6}{7}}}\cdot5^{\color{green}{\frac{2}{7}+\frac{6}{7}-\frac{1}{7}}}=9^1 \cdot 5^1 =45{\small.}\)
Осылайша, келесіні аламыз:
\(\displaystyle \begin{aligned}1{,}8^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}} &=\left(\frac{9}{5}\right)^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}=\frac{9^{\frac{1}{7}}}{5^{\frac{1}{7}}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}=\frac{9^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}}{5^{\frac{1}{7}}}=\\[10px]&=\frac{9^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot (9 \cdot 5)^{\frac{6}{7}}}{5^{\frac{1}{7}}} =\frac{9^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 9^{\frac{6}{7}} \cdot 5^{\frac{6}{7}}}{5^{\frac{1}{7}}}=9^{{\frac{1}{7}+\frac{6}{7}}}\cdot5^{{\frac{2}{7}+\frac{6}{7}-\frac{1}{7}}}=45{\small.}\end{aligned}\)
Жауабы: \(\displaystyle 45{\small.}\)
3-шешім.
Бастапқы өрнекті ыықшамдайық. Жақшадағы көрсеткіштен \(\displaystyle \frac{1}{7}\) алып, аламыз:
\(\displaystyle1{,}8^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}=\left(1{,}8^{1} \cdot 5^{2} \cdot 45^{6}\right)^{\frac{1}{7}}{\small.}\)
\(\displaystyle 1{,}8 \cdot 5^2 = 1{,}8 \cdot 25 = 45{\small} \) болғандықтан, онда
\(\displaystyle\left(\color{blue}{ 1{,}8 \cdot 5^{2}} \cdot 45^{6}\right)^{\frac{1}{7}}=\left( \color{blue}{45} \cdot 45^{6}\right)^{\frac{1}{7}}=\left(45^{7}\right)^{\frac{1}{7}}{\small.}\)
Жақшаларды ашайық. Дәрежені дәрежелеу кезінде осы дәрежелердің көрсеткіштері көбейтіледі:
\(\displaystyle\left(45^{\color{green}{7}}\right)^{\color{blue}{\frac{1}{7}}}=45^{\color{green}{7} \cdot \color{blue}{\frac{1}{7}}}=45^1=45{\small.}\)
Осылайша, теңдік тізбегі дұрыс:
\(\displaystyle1{,}8^{\frac{1}{7}} \cdot 5^{\frac{2}{7}} \cdot 45^{\frac{6}{7}}=\left(1{,}8 \cdot 5^{2} \cdot 45^{6}\right)^{\frac{1}{7}}=\left(45 \cdot 45^{6}\right)^{\frac{1}{7}}=45^{7 \cdot \frac{1}{7}}=45^1=45{\small.}\)
Жауабы: \(\displaystyle 45{\small.}\)