Выберите верный знак:
\(\displaystyle \frac{a^2x+a^2}{3ya^2+3a^2}\)
Если \(\displaystyle \frac{A}{B}\) – рациональная дробь и \(\displaystyle C\) – ненулевое число или ненулевой многочлен, то
\(\displaystyle \frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B \cdot C}{\small .}\)
Упростим первую дробь:
\(\displaystyle \color{green}{\frac{a^2x+a^2}{3ya^2+3a^2}=\frac{a^2(x+1)}{3a^2(y+1)}=\frac{\cancel{a^2}(x+1)}{3\cancel{a^2}(y+1)}=\frac{x+1}{3(y+1)}}{\small .}\)
Упростим вторую дробь:
\(\displaystyle \color{blue}{\frac{bx+b}{3by+3b}=\frac{b(x+1)}{3b(y+1)}=\frac{\cancel{b}(x+1)}{3\cancel{b}(y+1)}=\frac{x+1}{3(y+1)}}{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \color{green}{\frac{a^2x+a^2}{3ya^2+3a^2}=\frac{x+1}{3(y+1)}}=\color{blue}{\frac{x+1}{3(y+1)}=\frac{bx+b}{3by+3b}}{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \frac{a^2x+a^2}{3ya^2+3a^2}=\frac{bx+b}{3by+3b}{\small .}\)
Критерий равенства дробей
\(\displaystyle \frac{\color{green}{A}}{\color{green}{B}}=\frac{\color{blue}{X}}{\color{blue}{Y}}\) тогда и только тогда, когда \(\displaystyle \color{green}{A}\cdot \color{blue}{Y}=\color{blue}{X}\cdot \color{green}{B}\)
Применим критерий к дробям \(\displaystyle \frac{\color{green}{a^2x+a^2}}{\color{green}{3ya^2+3a^2}}\) и \(\displaystyle \frac{\color{blue}{bx+b}}{\color{blue}{3by+3b}}{\small .}\)
Найдем произведение числителя первой дроби на знаменатель второй:
\(\displaystyle (\color{green}{a^2x+a^2}) \cdot (\color{blue}{3by+3b})=3a^2bxy+3a^2by+3a^2bx+3a^2b{\small .}\)
Найдем произведение знаменателя первой дроби на числитель второй:
\(\displaystyle (\color{green}{3ya^2+3a^2}) \cdot (\color{blue}{bx+b})=3a^2bxy+3a^2bx+3a^2by+3a^2b{\small .}\)
Так как \(\displaystyle 3a^2bxy+3a^2by+3a^2bx+3a^2b=3a^2bxy+3a^2by+3a^2bx+3a^2b{\small ,}\)
то \(\displaystyle \frac{a^2x+a^2}{3ya^2+3a^2}=\frac{bx+b}{3by+3b}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{a^2x+a^2}{3ya^2+3a^2}=\frac{bx+b}{3by+3b}{\small .}\)