Теориясы: Куб айырмасын табу

«Кубтардың айырмасы» формуласын кері тәртіпте қайта жазайық:

\(\displaystyle (a-b\,)(a^{\,2}+ab+b^{\,2})=a^{\,3}-b^{\,3}.\)

Формуланың сол жағын және берілген өрнекті салыстырайық:

\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{c}{\color{blue}{(a-b\,)}}\\\color{blue}{(x-10)}\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\\color{green}{(x^{\, 2}+10x+100)}\end{array}\begin{array}{l}=a^{\,3}-b^{\,3},\\=\,?\end{array}\end{aligned}\)

\(\displaystyle 100=10^2\) болғандықтан, келесідей жазуға болатындығын ескерейік:

\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{c}{\color{blue}{(a-b\,)}}\\\color{blue}{(x-10)}\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\\color{green}{(x^{\, 2}+10x+10^2)}\end{array}\begin{array}{l}=a^{\,3}-b^{\,3},\\=\,?\end{array}\end{aligned}\)

Екі қосылғышы бар жақшалар бір-біріне тең, және үш қосылғышы бар жақшалар да бір-біріне тең деп болжауға болады:

\(\displaystyle \begin{aligned}\color{blue}{(x-10)}&=\color{blue}{(a-b\,)},\\\color{green}{(x^{\, 2}+10x+10^2)}&=\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}.\end{aligned}\)

Аталған теңдіктер \(\displaystyle a=x\) және \(\displaystyle b=10\) кезінде дұрыс.  Демек,

\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{c}{\color{blue}{(a-b\,)}}\\{\small |\;|}\\\color{blue}{(x-10)}\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}\color{green}{(a^{\,2}+ab+b^{\,2})}\\{\small |\;|}\\\color{green}{(x^{\, 2}+10x+10^2)}\end{array}\begin{array}{c}=\\\phantom{=}\\=\end{array}\begin{array}{c}\color{red}{a^{\,3}-b^{\,3}},\\{\small |\;|}\\\color{red}{x^{\,3}-10^3}\end{array}\end{aligned}\)

Осылайша,

\(\displaystyle (x-10)(x^{\, 2}+10x+10^2)=x^{\,3}-10^3.\)

Жауабы: \(\displaystyle {\bf x}^{\,3}-{\bf 10}^3.\)