Қосындының квадратын табыңыз:
\(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Бірінші тәсіл.
Бізге \(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}\) өрнегі қосындының толық квадраты екені белгілі.
Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандарына төмендегілер тең
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.\)
Алдымен ескерейік \(\displaystyle 25y^{\,2}=5^2y^{\,2}=(5y\,)^2.\)
Әрі қарай \(\displaystyle 90xy\) екі еселенген көбейтінді түрінде жазайық:
\(\displaystyle 90xy=2\cdot 9x \cdot 5y.\)
Енді біз өрнегімізді қосынды квадратының формуласы айқын көрінетін етіп қайта жаза аламыз:
\(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}=(9x\,)^2+2\cdot 9x \cdot 5y+(5y\,)^2.\)
Бұдан біздің өрнек \(\displaystyle a=9x\) және \(\displaystyle b=5y\) кезіндегі қосынды квадратымен дәл сәйкес келетіндігін көруге болады:
\(\displaystyle (9x\,)^2+2\cdot 9x \cdot 5y+(5y\,)^2=(9x+5y\,)^2.\)
Осылайша,
\(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}=(9x+5y\,)^2.\)
Жауабы: \(\displaystyle (9x+5y\,)^2.\)
Екінші тәсіл (квадраттар бойынша қосынды квадратын табу).
Бізге \(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}\) өрнегі қосындының толық квадраты екені белгілі.
Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандарына төмендегілер тең
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.\)
Демек, табу керек кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) үшін
\(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}\),
\(\displaystyle 25y^{\,2}=5^2y^{\,2}=(5y\,)^2\) ескерейік, сондықтан
\(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}=(9x\,)^2+90xy+(5y\,)^2.\)
Екінші дәрежелі өрнектерді теңестіреміз. Мысалы,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}+2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{(9x\,)^2}+90xy+\color{green}{(5y\,)^2},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{(9x\,)^2}\) және \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{(5y\,)^2}.\)
Сонда \(\displaystyle a\), \(\displaystyle 9x\) немесе \(\displaystyle -9x,\) \(\displaystyle b\), \(\displaystyle 5y\) немесе \(\displaystyle -5y\) болуы мүмкін (\(\displaystyle X^{\,2}=a^{\,2}\) теңдеуінің шешімін қараңыз ).
Таңбалары бірдей, мысалы, «+» таңбасы бар \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) параметрлерінің мәндерін таңдайық:
\(\displaystyle a=9x,\)
\(\displaystyle b=5y.\)
Біз квадраттарды теңестіргендіктен, міндетті түрде екі еселенген көбейтінділердің \(\displaystyle a\) орнына \(\displaystyle 9x\) параметрін, ал \(\displaystyle b\) орнына \(\displaystyle 5y\) санын ауыстырған кезде сәйкес келетіндігін тексеру қажет
\(\displaystyle a^{\, 2}+\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=(9x\,)^2+\color{red}{90xy}+(5y\,)^2,\)
\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}90xy\)
Алмастыра отырып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle 2ab=2\cdot 9x\cdot 5y,\)
\(\displaystyle 2ab=90xy.\)
Біз дұрыс теңдікті алдық, бұл \(\displaystyle a=9x\) және \(\displaystyle b=5y\) 7p теңдіктерінің дұрыстығын білдіреді.
\(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2},\)
\(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}=(a+b\,)^2\) болғандықтан,
онда, оң жақтағы жақшаға \(\displaystyle a=9x\) және \(\displaystyle b=5y\) алмастыра отырып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle (9x\,)^2+90xy+25y^{\,2}=(9x+5y\,)^2.\)
Жауабы: \(\displaystyle (9x+5y\,)^2.\)