Қосындының квадратын табыңыз:
\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Бірінші тәсіл.
Бізге \(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}\) өрнегі қосындының толық квадраты екені белгілі.
Қосынды квадраты
Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандары үшін төмендегі дұрыс
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.\)
\(\displaystyle 49x^{\,2}=7^2x^{\,2}=(7x\,)^2\) ескерейік, сондықтан қосынды квадратының формуласы анық көрінетін етіп өрнегімізді қайта жаза аламыз:
\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=(3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+(7x\,)^2.\)
Бұдан біздің өрнек \(\displaystyle a=3t\) және \(\displaystyle b=7x\) қосынды квадратымен дәл сәйкес келетіндігін көруге болады:
\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+(7x\,)^2=(3t+7x\,)^2.\)
Осылайша,
\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=(3t+7x\,)^2.\)
Жауабы: \(\displaystyle (3t+7x\,)^2.\)
Екінші тәсіл (квадраттар бойынша қосынды квадратын табу).
Бізге \(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}\) өрнегі қосындының толық квадраты екені белгілі.
Қосынды квадраты
Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандары үшін төмендегі дұрыс
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2.\)
Сәйкесінше,
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}\)
табу керек кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) үшін дұрыс болып табылады.
\(\displaystyle 49x^{\,2}=7^2x^{\,2}=(7x\,)^2\) екендігін ескерейік, сондықтан
\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=(3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+(7x\,)^2.\)
Екінші дәрежелі өрнектерді теңестіреміз. Мысалы,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}+2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{(3t\,)^2}+2(3t\,)(7x\,)+\color{green}{(7x\,)^2},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{(3t\,)^2}\) және \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{(7x\,)^2}.\)
Сонда \(\displaystyle a\) \(\displaystyle 3t\) немесе \(\displaystyle -3t,\) ал \(\displaystyle b\) \(\displaystyle 7x\) немесе \(\displaystyle -7x\) болуы мүмкін (\(\displaystyle X^{\,2}=a^{\,2}\) теңдеуінің шешімін қараңыз).
Таңбалары бірдей, мысалы, «+» таңбасы бар \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) параметрлерінің мәндерін таңдайық:
\(\displaystyle a=3t,\)
\(\displaystyle b=7x.\)
Біз квадраттарды теңестіргендіктен, міндетті түрде екі еселенген көбейтінділердің \(\displaystyle a\) орнына \(\displaystyle 3t,\) өрнегін, ал \(\displaystyle b\) орнына \(\displaystyle 7x\) өрнегін ауыстырған кезде сәйкес келетіндігін тексеру қажет
\(\displaystyle a^{\, 2}+\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=(3t\,)^2+\color{red}{2(3t\,)(7x\,)}+(7x\,)^2,\)
\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}2(3t\,)(7x\,)\)
Алмастыра отырып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle 2ab=2\cdot 3t\cdot 7x,\)
\(\displaystyle 2ab=2(3t\,)(7x\,).\)
Біз дұрыс теңдікті алдық, бұл \(\displaystyle a=3t\) және \(\displaystyle b=7x\) теңдіктерінің дұрыстығын білдіреді.
\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2},\)
\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=(a+b\,)^2\) болғандықтан
онда, оң жақтағы жақшаға \(\displaystyle a=3t\) және \(\displaystyle b=7x\) алмастыра отырып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=(3t+7x\,)^2.\)
Жауабы: \(\displaystyle (3t+7x\,)^2.\)