Суретте \(\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c{\small}\) функциясының графигі көрсетілген. \(\displaystyle f(3){\small}\) табыңыз.
\(\displaystyle f(3)=\)
\(\displaystyle f(3){ \small }\) табу үшін алдымен белгісіз \(\displaystyle a{\small,}\)\(\displaystyle b\) және \(\displaystyle c{\small}\) коэффициенттерін табамыз.
Ол үшін \(\displaystyle a{\small,}\)\(\displaystyle b\) және \(\displaystyle c\) қатысты теңдеулер жүйесін құрып, оны шешейік.
\(\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c\) функциясының графигі парабола екенін ескерейік.
Суретті талдайық.
\(\displaystyle (2;1)\) нүктесі
- парабола төбесі болып табылады,
- параболада жатыр.
\(\displaystyle (7;6)\) нүктесі параболада жатыр.
Осы үш фактіні қолдана отырып, \(\displaystyle a{ \small ,}\) \(\displaystyle b\) және \(\displaystyle c{\small}\) табу үшін теңдеулер жүйесін құрайық.
\(\displaystyle ({2};{1})\) нүктесі \(\displaystyle y=ax^2+bx+c{\small}\) параболасының төбесі болып табылатындықтан, оның \(\displaystyle {x_0={2}}{\small}\) абсциссасының шартын жазайық.
\(\displaystyle \color{blue}{2=\frac{-b}{2a}}{\small.}\)
\(\displaystyle (2;1)\) нүктесі \(\displaystyle y=ax^2+bx+c{\small}\) параболасында жатқандықтан, оның \(\displaystyle x_0={2}\) және \(\displaystyle y_0={1}\) координаттарын \(\displaystyle y=ax^2+bx+c\) теңдеуіне алмастыру кезінде дұрыс теңдікті аламыз.
Демек,
\(\displaystyle \color{blue}{1=a\cdot 2^2+b\cdot 2+c}{\small.}\)
\(\displaystyle ({7};{6})\) нүктесі \(\displaystyle y=ax^2+bx+c{\small}\) параболасында жатқандықтан, оның \(\displaystyle x={7}\) және \(\displaystyle y={6}\) координаттарын \(\displaystyle y=ax^2+bx+c\) теңдеуіне алмастыру кезінде дұрыс теңдікті аламыз.
Демек,
\(\displaystyle \color{blue}{6=a\cdot 7^2+b\cdot 7+c}{\small.}\)
Осылайша, келесі теңдеулер жүйесін аламыз
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{2}&\color{blue}{=\frac{-b}{2a}}{\small ,}\\[5px]\color{blue}{1}&\color{blue}{=a\cdot 2^2+b\cdot 2+c}{ \small ,}\\[5px]\color{blue}{6}&\color{blue}{=a\cdot 7^2+b\cdot 7+c} {\small .}\end{aligned}\right. \)
Немесе
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}b&=-4a{ \small ,}\\1&=4a+2b+c{ \small ,}\\6&=49a+7b+c {\small .}\end{aligned}\right. \)
Бірінші теңдеуінде \(\displaystyle b\) теңдеуінде \(\displaystyle a{\small }\) арқылы өрнектелген:
\(\displaystyle b\) орнына \(\displaystyle \color{Magenta}{-4a}\) өрнегін жүйенің екінші және үшінші теңдеулеріне алмастырайық:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}1&=4a+2\cdot (\color{Magenta}{-4a})+c{ \small ,}\\6&=49a+7\cdot (\color{Magenta}{-4a})+c {\small .}\end{aligned}\right. \)
Немесе
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}1&=-4a+c{ \small ,}\\6&=21a+c {\small .}\end{aligned}\right. \)
Үш теңдеуден тұратын бастапқы жүйесінің шешімін табайық.
Келесіні қолданайық
\(\displaystyle b=-4a\)
және
\(\displaystyle a=0{,}2\) және \(\displaystyle c=1{,}8{ \small .}\)
Төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle b=-4\cdot 0{,}2=-0{,}8{ \small .}\)
Бастапқы жүйенің шешімі келесідей сандар үштігі болып табылады
\(\displaystyle a=0{,}2{ \small ,}\) \(\displaystyle b=-0{,}8\) және \(\displaystyle c=1{,}8{ \small .}\)
Сонда біздің функция келесідей болады
\(\displaystyle f(x)=0{,}2x^2-0{,}8x+1{,}8{ \small .}\)
\(\displaystyle f(3){ \small }\) табамыз:
\(\displaystyle f(3)=0{,}2\cdot 3^2-0{,}8\cdot 3+1{,}8=1{,}8-2{,}4+1{,}8=1{,}2{ \small .}\)
Жауабы: \(\displaystyle 1{,}2{\small .}\)