\(\displaystyle {\dfrac{\log_{2}{(32x)}-1}{\log^2_{2}{x}-\log_{2}{x^5}} \geqslant -1{\small .}}\)
I. Теңсіздікті сол жақта тек \(\displaystyle \log_{2}{x}{\small }\) және оның квадраты болатындай етіп ықшамдаңыз.
Теңсіздіктің сол жағындағы барлық логарифмдер \(\displaystyle x>0{\small }\) кезінде анықталады
Сонда логарифмдер қасиеті бойынша:
\(\displaystyle \log_{2}{(32x)}=\log_{2}{32}+\log_{2}{x}{\small ,}\)
\(\displaystyle \log_{2}{x^5}=5\log_{2}{x}{\small .}\)
Түрлендірулер нәтижесінде келесі теңсіздікті аламыз:
\(\displaystyle \dfrac{\log_{2}{x}+4}{\log^2_{2}{x}-5\log_{2}{x}} \geqslant -1{\small .}\)
\(\displaystyle {\dfrac{\log_{2}{(32x)}-1}{\log^2_{2}{x}-\log_{2}{x^5}} \geqslant -1{\small ,}}\)
\(\displaystyle \dfrac{\log_{2}{32}+\log_{2}{x}-1}{\log^2_{2}{x}-5\log_{2}{x}} \geqslant -1{\small ,}\)
\(\displaystyle \dfrac{5+\log_{2}{x}-1}{\log^2_{2}{x}-5\log_{2}{x}} \geqslant -1{\small ,}\)
\(\displaystyle \dfrac{\log_{2}{x}+4}{\log^2_{2}{x}-5\log_{2}{x}} \geqslant -1{\small .}\)
II. Айнымалыны алмастырып, алынған теңсіздікті шешейік.
\(\displaystyle \log_{2}{x}=t{\small .}\) Сонда \(\displaystyle \log^2_{2}{x}=t^2{\small .}\)
Бөлшек-рационалды теңсіздікті аламыз:
\(\displaystyle \dfrac{t+4}{t^2-5t} \geqslant -1{\small .}\)
Алынған теңсіздікті интервал әдісімен шешейік.
1. Теңсіздіктің оң жағында нөлді аламыз. \(\displaystyle \dfrac{t+4}{t^2-5t} +1\geqslant 0{\small .}\)
2. Теңсіздіктің сол жағын рационалды бөлшек түрінде көрсетейік.
\(\displaystyle \dfrac{(t-2)^2}{t(t-5)}\geqslant 0{\small .}\) \(\displaystyle \dfrac{t+4}{t^2-5t} +1\geqslant 0{\small ,}\)
\(\displaystyle \dfrac{t+4+t^2-5t}{t^2-5t}\geqslant 0{\small ,}\)
\(\displaystyle \dfrac{t^2-4t+4}{t^2-5t}\geqslant 0{\small .}\) Алымындағы өрнекті келесі түрде көрсетуге болады: \(\displaystyle {t^2-4t+4}=t^2-2 \cdot 2\cdot t+2^2=(t-2)^2{\small .}\) Бөлімінде ортақ көбейткіш \(\displaystyle t\) жақшаның сыртына шығарамыз. Келесіні аламыз: \(\displaystyle \dfrac{(t-2)^2}{t(t-5)}\geqslant 0{\small .}\) 3. Алымы \(\displaystyle (t-2)^2\) және бөлімі \(\displaystyle t(t-5){\small }\) нөлдерін тауып, теңсіздіктің анықталу облысына нүктелер қоямыз.
Алымының нөлі: \(\displaystyle t=2{\small .}\)Бөлімінің нөлдері: \(\displaystyle t=0\) және \(\displaystyle t=5{\small .}\) - \(\displaystyle (t-2)^2=0{\small } \) теңдеуін шешейік:
\(\displaystyle t-2=0{\small . } \) \(\displaystyle t = 2{\small .} \) - \(\displaystyle t(t-5)=0{\small } \) теңдеуін шешейік.
\(\displaystyle t=0\) немесе \(\displaystyle t-5=0{\small ,} \) \(\displaystyle t=5{\small .} \) Теңсіздік қатаң емес болғандықтан, онда - бөлімін нөлге айналдырмайтын алымның барлық нөлдері боялған нүктелермен белгіленеді;
- бөлімнің барлық нөлдері әрқашан бос нүктелермен белгіленеді.
\(\displaystyle t=2 \) алымын нөлге айналдырып, бөлімін нөлге айналдырмайтындықтан, онда \(\displaystyle t=2\) боялған нүктемен белгіленеді. \(\displaystyle t=0\) және \(\displaystyle t=5\) бөлімін нөлге айналдыратындықтан, олар бос нүктелермен белгіленеді: 
Төрт интервал алдық: \(\displaystyle (-\infty;0){ \small ,} \, (0;2){ \small ,} \ (2;5)\) және \(\displaystyle (5;+\infty){\small .}\) 4. Таңбаларды орналастырайық.
Әр интервалдағы \(\displaystyle f(x)= \dfrac{(t-2)^2}{t(t-5)}\) функциясының таңбасын анықтайық.\(\displaystyle \\\) - \(\displaystyle (-\infty;0)\) интервалы үшін \(\displaystyle x=-1{\small }\) таңдайық:
\(\displaystyle f(0)= \frac{(-1-2)^2}{(-1)(-1-5)}>0{\small .}\) \(\displaystyle (-\infty;0){\small}\) интервалында плюс таңбасын жазамыз. - \(\displaystyle (0;2)\) интервалы үшін \(\displaystyle x=1{\small }\) таңдайық:
\(\displaystyle f(1)= \frac{(1-2)^2}{1\cdot (1-5)}<0{\small .}\) \(\displaystyle (0;2){\small}\) интервалында минус таңбасын жазамыз - \(\displaystyle (2;5)\) интервалы үшін \(\displaystyle x=4{\small }\) таңдайық:
\(\displaystyle f(4)= \frac{(4-2)^2}{4\cdot (4-5)}<0{\small .}\) \(\displaystyle (2;5){\small}\) интервалында минус таңбасын жазамыз - \(\displaystyle (5;+\infty)\) интервалы үшін \(\displaystyle x=6{\small }\) таңдайық:
\(\displaystyle f(4)= \frac{(6-2)^2}{6\cdot (6-5)}>0{\small .}\) \(\displaystyle (5;+\infty){\small}\) интервалында плюс таңбасын жазамыз. 
5. Жауабын жазайық.
\(\displaystyle \dfrac{(t-2)^2}{t(t-5)}\geqslant 0{\small }\) теңсіздігінің шешімдері функция оң мәндерді қабылдайтын және бос шекаралық нүктелерді қосатын аралықтарға сәйкес келеді. . Сонда теңсіздік \(\displaystyle \color{Blue}{t<0}\) немесе \(\displaystyle \color{Blue}{t=2}\) немесе \(\displaystyle \color{Blue}{t>5{\small}}\) кезінде орындалады. |
III. \(\displaystyle x{\small}\) айнымалыға оралайық
Бізде \(\displaystyle t=\log_{2}{x}{\small .}\)
Сонда:
\(\displaystyle \color{Blue}{\log_{2}{x}<0}\) немесе \(\displaystyle \color{Blue}{\log_{2}{x}=2}\) немесе \(\displaystyle \color{Blue}{\log_{2}{x}>5{\small .}}\)
\(\displaystyle \color{Blue}{\log_{2}{x}<0}\) теңсіздігінің шешімі \(\displaystyle \color{Blue}{(0;1){\small }}\) аралық болып табылады
\(\displaystyle \log_{2}{x}<0 \Leftrightarrow \log_{2}{x}<\log_{2}{1} {\small .}\)
Логарифмнің негізі \(\displaystyle 2>1{\small }\) болғандықтан, онда берілген теңсіздік келесі жүйеге тең::
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}x&>\,\,0{\small ,}\\x&<\,\,1{\small .}\\\end{array}\right.\)
Яғни, бұл теңсіздіктің шешімі \(\displaystyle (0;1){\small }\) аралық болып табылады
\(\displaystyle \color{Blue}{\log_{2}{x}=2}\) теңдеуінің шешімі \(\displaystyle \color{Blue}4{\small }\) саны болып табылады
\(\displaystyle {\log_{2}{x}=2}\Leftrightarrow {{x}={2^2=4}}{\small .}\)
\(\displaystyle \color{Blue}{\log_{2}{x}>5}\) теңсіздігінің шешімі \(\displaystyle \color{Blue}{(32;+\infty){\small }}\) аралығы болып табылады
Логарифмнің негізі \(\displaystyle 2>1{\small }\) болғандықтан, онда берілген теңсіздік келесі жүйеге тең:
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}x&>\,\,0{\small ,}\\x&>32{\small .}\\\end{array}\right.\Leftrightarrow \,\,x>32{\small .}\)
Яғни, бұл теңсіздіктің шешімі \(\displaystyle (32;+\infty){\small }\) аралығы болып табылады.
\(\displaystyle {\dfrac{\log_{2}{(32x)}-1}{\log^2_{2}{x}-\log_{2}{x^5}} \geqslant -1}\) бастапқы теңсіздігінің шешімі
табылған аралықтардың бірігуі болып табылады:
\(\displaystyle \color{Blue}{(0;1) \cup\{4\} \cup(32;+\infty){\small .}}\)
Жауабы: \(\displaystyle x \in (0;1) \cup\{4\} \cup(32;+\infty){\small .}\)