Теория: 08 \(\displaystyle 3 \cdot 45^x-3 \cdot 27^x -28 \cdot 15^x - 28 \cdot 9^x +9 \cdot 5^x-3^{x+2}\leqslant 0\)

Переменная содержится только в показателях степеней с основаниями  \(\displaystyle 3{\small ,} \,\, 5 {\small ,} \,\, 9 {\small ,} \,\, 27\) и \(\displaystyle 45{\small .}\)

Заметим, что: 

• \(\displaystyle 9=3^2{\small ;} \, \,27=3^3{\small ;}\\\)
• \(\displaystyle 15=3 \cdot 5 {\small ,} \,\,45=9 \cdot 5=3^2 \cdot5 {\small .}\)

Представим все основания в виде степеней чисел \(\displaystyle 3 {\small } \) и \(\displaystyle 5 {\small }\) и их произведений.

Возможно потом

• или удастся сделать замену переменной, где новая переменная будет какой-то комбинацией \(\displaystyle 3^x{\small }\) и  \(\displaystyle 5^x{\small ,}\)
• или удастся разложить левую часть на множители, содержащие \(\displaystyle 3^x{\small }\) и  \(\displaystyle 5^x{\small .}\)

Представим основания в виде степеней чисел \(\displaystyle 3 {\small ,} \,\, 5 {\small }\) или их произведений.

\(\displaystyle {3 \cdot (3^2 \cdot 5)^x-3 \cdot (3^3)^x -28 \cdot (3\cdot 5)^x + 28 \cdot (3^2)^x +9 \cdot 5^x-3^{x+2}\leqslant 0}{\small .}\)

Воспользуемся свойствами степени:

\(\displaystyle {3 \cdot 3^{2x} \cdot 5^x-3 \cdot 3^{3x} -28 \cdot 3^x \cdot 5^x +28 \cdot 3^{2x} +9 \cdot 5^x-9\cdot3^{x} \leqslant 0}{\small .}\)

Заметим пары равных коэффициентов:

\(\displaystyle {\color{Blue}{3} \cdot 3^{2x} \cdot 5^x-\color{Blue}{3} \cdot 3^{3x} -\color{Magenta}{28} \cdot 3^x \cdot 5^x+\color{Magenta}{28} \cdot 3^{2x} +\color{Green}{9} \cdot 5^x-\color{Green}{9}\cdot3^{x} \leqslant 0}{\small .}\)

Сгруппируем слагаемые с равными коэффициентами и в каждой паре вынесем за скобку общий множитель:

\(\displaystyle {3 \cdot 3^{2x} (5^x- 3^{x}) -28\cdot3^x ( 5^x -3^{x} )+9 \cdot(5^x-3^{x} )\leqslant 0}{\small .}\)

Получили, что каждое слагаемое содержит общий множитель \(\displaystyle 5^x -3^{x} {\small .}\) Вынесем его за скобку.

Получим:

\(\displaystyle (5^x- 3^{x})({3 \cdot 3^{2x} -28\cdot3^x +9) \leqslant 0}{\small .}\)

Решим уравнение \(\displaystyle 5^x- 3^{x} = 0{\small }\)

\(\displaystyle 5^x- 3^{x} = 0{\small ,}\)

\(\displaystyle 5^x= 3^{x} {\small .}\)

Поделим обе части уравнения на \(\displaystyle 3^{x} {\small ,}\) которое не обращается в ноль:

\(\displaystyle \frac{5^x}{3^x} = 1{\small ,}\)

\(\displaystyle \left(\frac{5}{3}\right)^{x} = 1{\small ,}\)

\(\displaystyle \left(\frac{5}{3}\right)^{x} = \left(\frac{5}{3}\right)^0{\small ,}\)

\(\displaystyle {x} = 0{\small .}\)

Решим уравнение \(\displaystyle 3 \cdot 3^{2x} -28\cdot3^x +9 = 0{\small .}\)

Сделаем замену переменной:

\(\displaystyle 3^x=t{\small ,}\) тогда \(\displaystyle 3^{2x}=(3^x)^2=t^2{\small .}\)

Получим квадратное уравнение

\(\displaystyle 3 \cdot t^{2} -28\cdot t +9 = 0{\small .}\)

Его дискриминант 

\(\displaystyle {\rm D}= (-28)^2-4\cdot 3\cdot 9=786-108=676{\small }\) 

и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 676}=26{\small .} \)

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle t_1= \frac{-(-28)-26}{2\cdot 3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}{ \small ,}\)

\(\displaystyle t_2=\frac{-(-28)+26}{2\cdot 3}=\frac{54}{6}=9{\small .}\)

Вернёмся к переменной \(\displaystyle x{\small .}\) У нас \(\displaystyle t=3^x{\small .}\)

Тогда:

\(\displaystyle 3^x =\frac {1}{3}\) или \(\displaystyle 3^x=9{\small,}\)

\(\displaystyle 3^x =3^{-1}\) или \(\displaystyle 3^x=3^2{\small,}\)

\(\displaystyle x ={-1}\) или \(\displaystyle x=2{\small.}\)

• Для интервала \(\displaystyle (-\infty;-1)\) выберем \(\displaystyle x=-2{\small :}\) 

\(\displaystyle f(-2)= \left(5^{-2}- 3^{-2}\right)\left(3 \cdot 3^{2\cdot (-2)} -28\cdot3^{-2} +9\right)=\left(\frac{1}{25}- \frac{1}{9}\right)\left(3 \cdot 3^{-4} -28\cdot \frac{1}{9} +9\right)=\)

\(\displaystyle =\left(\frac{9-25}{225}\right)\left(3 \cdot \frac{1}{81} -\frac{28}{9} +9\right)=\left(-\frac{16}{225}\right)\left(\frac{1}{27} +\frac{53}{9}\right)<0{\small .}\)

Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (-\infty ;-1){\small.}\)

• Для интервала \(\displaystyle (-1;0)\) выберем \(\displaystyle x=-0{,}5{\small :}\) 

\(\displaystyle f(-0{,}5)= \left(5^{-0{,}5}- 3^{-0{,}5}\right)\left(3 \cdot 3^{2\cdot (-0{,}5)} -28\cdot3^{-0{,}5} +9\right)=\)

\(\displaystyle =\left(\frac{1}{\sqrt5}- \frac{1}{\sqrt3}\right)\left(3 \cdot 3^{-1} -28\cdot \frac{1}{\sqrt3} +9\right)=\frac{\sqrt3-\sqrt5}{\sqrt{15}}\cdot \left(3 \cdot \frac{1}{3} -\frac{28}{\sqrt3} +9\right)=\)

\(\displaystyle =\frac{\sqrt3-\sqrt5}{\sqrt{15}}\cdot \left(1-\frac{28\sqrt3}{3} +9\right)=\frac{\sqrt3-\sqrt5}{\sqrt{15}}\cdot \left(10-\frac{28\sqrt3}{3} \right)=\)

\(\displaystyle =\frac{\sqrt3-\sqrt5}{\sqrt{15}}\cdot \frac{30-28\sqrt3}{3} >0{\small ,}\)

так как 

\(\displaystyle \frac{\sqrt3-\sqrt5}{\sqrt{15}}<0{\small }\)   и   \(\displaystyle \frac{30-28\sqrt3}{3} <0{\small .}\)

Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (2;+\infty){\small.}\)

• Для интервала \(\displaystyle (0;2)\) выберем \(\displaystyle x=1{\small :}\) 

\(\displaystyle f(1)= (5^{1}- 3^{1})(3 \cdot 3^{2\cdot 1} -28\cdot3^{1} +9)=(5- 3)(3 \cdot 3^{2} -28\cdot 3 +9)=\)

\(\displaystyle =2\cdot (3 \cdot 9 -54 +9)=2\cdot (27 -45)=<0{\small .}\)

Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (0 ;2){\small.}\)

• Для интервала \(\displaystyle (2;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=3{\small :}\) 

\(\displaystyle f(1)= (5^{3}- 3^{3})(3 \cdot 3^{2\cdot 3} -28\cdot3^{3} +9)=(125- 27)(3 \cdot 3^{6} -28\cdot 27 +9)=\)

\(\displaystyle =98\cdot (3 \cdot 729 -756 +9)=98 \cdot (2187 -747) >0{\small .}\)

Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (2;+\infty){\small.}\)