Теориясы:

Айнымалы тек негіздері   \(\displaystyle 3{\small ,} \,\, 5 {\small ,} \,\, 9 {\small ,} \,\, 27\) және   \(\displaystyle 45{\small }\) болатын дәреже көрсеткіштерінде болады

Келесіні ескерейік: 

• \(\displaystyle 9=3^2{\small ;} \, \,27=3^3{\small ;}\\\)
• \(\displaystyle 15=3 \cdot 5 {\small ,} \,\,45=9 \cdot 5=3^2 \cdot5 {\small .}\)

Барлық негіздерді \(\displaystyle 3 {\small } \) және  \(\displaystyle 5 {\small }\) сандарының дәрежелері және олардың көбейтінділері түрінде көрсетейік.

Содан кейін мүмкін

• немесе айнымалыны ауыстыруға болады, мұндағы жаңа айнымалы қандай да бір комбинациясы болады   \(\displaystyle 3^x{\small }\) және   \(\displaystyle 5^x{\small ,}\)
• немесе сол жақ бөлігін  \(\displaystyle 3^x{\small }\) және \(\displaystyle 5^x{\small }\) бар көбейткіштерге жіктеуге болады

Негіздерді \(\displaystyle 3 {\small ,} \,\, 5 {\small }\) сандарының дәрежелері немесе олардың көбейтінділері түрінде көрсетейік.

\(\displaystyle {3 \cdot (3^2 \cdot 5)^x-3 \cdot (3^3)^x -28 \cdot (3\cdot 5)^x + 28 \cdot (3^2)^x +9 \cdot 5^x-3^{x+2}\leqslant 0}{\small .}\)

Дәреже қасиеттерін қолданайық:

\(\displaystyle {3 \cdot 3^{2x} \cdot 5^x-3 \cdot 3^{3x} -28 \cdot 3^x \cdot 5^x +28 \cdot 3^{2x} +9 \cdot 5^x-9\cdot3^{x} \leqslant 0}{\small .}\)

Тең коэффициенттердің жұптарын байқайық:

\(\displaystyle {\color{Blue}{3} \cdot 3^{2x} \cdot 5^x-\color{Blue}{3} \cdot 3^{3x} -\color{Magenta}{28} \cdot 3^x \cdot 5^x+\color{Magenta}{28} \cdot 3^{2x} +\color{Green}{9} \cdot 5^x-\color{Green}{9}\cdot3^{x} \leqslant 0}{\small .}\)

Тең коэффициенттері бар қосылғыштарды топтастырамыз және әр жұпта ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығарамыз:

\(\displaystyle {3 \cdot 3^{2x} (5^x- 3^{x}) -28\cdot3^x ( 5^x -3^{x} )+9 \cdot(5^x-3^{x} )\leqslant 0}{\small .}\)

Әрбір қосылғышты \(\displaystyle 5^x -3^{x} {\small }\) ортақ көбейткіші бар екенін алдық. Оны жақшаның сыртына шығарайық.

Келесіні аламыз:

\(\displaystyle (5^x- 3^{x})({3 \cdot 3^{2x} -28\cdot3^x +9) \leqslant 0}{\small .}\)

 \(\displaystyle 5^x- 3^{x} = 0{\small }\) теңдеуін шешейік

\(\displaystyle 5^x- 3^{x} = 0{\small ,}\)

\(\displaystyle 5^x= 3^{x} {\small .}\)

Теңдеудің екі бөлігін де нөлге айналмайтын  \(\displaystyle 3^{x} {\small }\) бөлейік:

\(\displaystyle \frac{5^x}{3^x} = 1{\small ,}\)

\(\displaystyle \left(\frac{5}{3}\right)^{x} = 1{\small ,}\)

\(\displaystyle \left(\frac{5}{3}\right)^{x} = \left(\frac{5}{3}\right)^0{\small ,}\)

\(\displaystyle {x} = 0{\small .}\)

 \(\displaystyle 3 \cdot 3^{2x} -28\cdot3^x +9 = 0{\small }\) теңдеуін шешейік

Айнымалыны алмастырайық:

\(\displaystyle 3^x=t{\small ,}\) сонда \(\displaystyle 3^{2x}=(3^x)^2=t^2{\small .}\)

Келесі квадрат теңдеуді аламыз

\(\displaystyle 3 \cdot t^{2} -28\cdot t +9 = 0{\small .}\)

Оның дискриминанты  

\(\displaystyle {\rm D}= (-28)^2-4\cdot 3\cdot 9=786-108=676{\small }\) 

және  
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 676}=26{\small .} \)

Теңдеудің түбірлерін табайық:

\(\displaystyle t_1= \frac{-(-28)-26}{2\cdot 3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}{ \small ,}\)

\(\displaystyle t_2=\frac{-(-28)+26}{2\cdot 3}=\frac{54}{6}=9{\small .}\)

 \(\displaystyle x{\small }\) айнымалысына оралайық Бізде   \(\displaystyle t=3^x{\small .}\)

Сонда:

\(\displaystyle 3^x =\frac {1}{3}\) немесе \(\displaystyle 3^x=9{\small,}\)

\(\displaystyle 3^x =3^{-1}\) немесе \(\displaystyle 3^x=3^2{\small,}\)

\(\displaystyle x ={-1}\) немесе \(\displaystyle x=2{\small.}\)

•  \(\displaystyle (-\infty;-1)\) интервалы үшін \(\displaystyle x=-2{\small }\) таңдайық :

\(\displaystyle f(-2)= \left(5^{-2}- 3^{-2}\right)\left(3 \cdot 3^{2\cdot (-2)} -28\cdot3^{-2} +9\right)=\left(\frac{1}{25}- \frac{1}{9}\right)\left(3 \cdot 3^{-4} -28\cdot \frac{1}{9} +9\right)=\)

\(\displaystyle =\left(\frac{9-25}{225}\right)\left(3 \cdot \frac{1}{81} -\frac{28}{9} +9\right)=\left(-\frac{16}{225}\right)\left(\frac{1}{27} +\frac{53}{9}\right)<0{\small .}\)

Минус белгісін \(\displaystyle (-\infty ;-1){\small}\)  интервалында жазамыз

•  \(\displaystyle (-1;0)\) интервалы үшін \(\displaystyle x=-0{,}5{\small }\) таңдайық:

\(\displaystyle f(-0{,}5)= \left(5^{-0{,}5}- 3^{-0{,}5}\right)\left(3 \cdot 3^{2\cdot (-0{,}5)} -28\cdot3^{-0{,}5} +9\right)=\)

\(\displaystyle =\left(\frac{1}{\sqrt5}- \frac{1}{\sqrt3}\right)\left(3 \cdot 3^{-1} -28\cdot \frac{1}{\sqrt3} +9\right)=\frac{\sqrt3-\sqrt5}{\sqrt{15}}\cdot \left(3 \cdot \frac{1}{3} -\frac{28}{\sqrt3} +9\right)=\)

\(\displaystyle =\frac{\sqrt3-\sqrt5}{\sqrt{15}}\cdot \left(1-\frac{28\sqrt3}{3} +9\right)=\frac{\sqrt3-\sqrt5}{\sqrt{15}}\cdot \left(10-\frac{28\sqrt3}{3} \right)=\)

\(\displaystyle =\frac{\sqrt3-\sqrt5}{\sqrt{15}}\cdot \frac{30-28\sqrt3}{3} >0{\small ,}\)

себебі 

\(\displaystyle \frac{\sqrt3-\sqrt5}{\sqrt{15}}<0{\small }\)   және   \(\displaystyle \frac{30-28\sqrt3}{3} <0{\small .}\)

Плюс белгісін \(\displaystyle (2;+\infty){\small}\) интервалында жазамыз

•  \(\displaystyle (0;2)\) интервалы үшін \(\displaystyle x=1{\small }\) таңдайық:

\(\displaystyle f(1)= (5^{1}- 3^{1})(3 \cdot 3^{2\cdot 1} -28\cdot3^{1} +9)=(5- 3)(3 \cdot 3^{2} -28\cdot 3 +9)=\)

\(\displaystyle =2\cdot (3 \cdot 9 -54 +9)=2\cdot (27 -45)=<0{\small .}\)

Минус белгісін \(\displaystyle (0 ;2){\small}\) интервалында жазамыз

•  \(\displaystyle (2;+\infty)\) интервалы үшін \(\displaystyle x=3{\small }\) таңдайық:

\(\displaystyle f(1)= (5^{3}- 3^{3})(3 \cdot 3^{2\cdot 3} -28\cdot3^{3} +9)=(125- 27)(3 \cdot 3^{6} -28\cdot 27 +9)=\)

\(\displaystyle =98\cdot (3 \cdot 729 -756 +9)=98 \cdot (2187 -747) >0{\small .}\)

Плюс белгісін \(\displaystyle (2;+\infty){\small}\) интервалында жазамыз