Skip to main content

Теориясы:

Тапсырма

Теңсіздікті шешіңіз

\(\displaystyle \left( 4^x-5\cdot 2^x \right)^2-20\left( 4^x-5\cdot 2^x \right) -96\leqslant 0{\small .}\)

Шешім

\(\displaystyle \left( 4^x-5\cdot 2^x \right)^2-20\left( 4^x-5\cdot 2^x \right) -96\leqslant 0{\small .}\)


Теңсіздіктің сол жақ бөлігінде  \(\displaystyle 4^x-5\cdot 2^x \) өрнегі және оның квадраты бар.

I. Айнымалыны алмастырып қойайық

\(\displaystyle \color{#336699}{a= 4^x-5\cdot 2^x {\small .}}\) 

Квадрат теңсіздікті аламыз:

\(\displaystyle \color{#336699}{a^2-20a-96\leqslant 0{\small .}}\) 

II. Алынған теңсіздікті интервал әдісімен шешейік.

Төмендегіні аламыз:

\(\displaystyle \color{#336699}{-4\leqslant a \leqslant 24{\small .}}\)

III. Ескі айнымалыға оралайық.

Бізде \(\displaystyle {a=4^x-5\cdot 2^x {\small .}}\) 

Сонда

\(\displaystyle -4\leqslant 4^x-5\cdot 2^x \leqslant 24{\small .}\)

IV. Айнымалыны алмастырып қойайық  \(\displaystyle \color{#336699}{t=2^x{\small .}}\)

Теңсіздіктер жүйесін аламыз:

\(\displaystyle \color{#336699}{\left\{\begin{array}{rl}t^2-5t-24& \leqslant \, 0{\small ,}\\t^2-5t+4&\geqslant\, 0{\small .}\\\end{array}\right.}\)

V. Алынған жүйені шешейік.

Жүйенің әрбір теңсіздігін шешеміз, содан кейін алынған шешімдер жиынының қиылысын табамыз.

  \(\displaystyle t^2-5t-24\leqslant 0{\small }\) теңсіздігінің шешімі

\(\displaystyle -3\leqslant t\leqslant 8\) 

\(\displaystyle t^2-5t+4\geqslant 0{\small :}\) теңсіздігінің шешімі

\(\displaystyle -\infty< t\leqslant 1{\small ;} \,\,\,\, 4 \leqslant t < +\infty\)

теңсіздіктер жүйесін шешу

\(\displaystyle {-3\leqslant t\leqslant 1}{\small;}\) \(\displaystyle {4\leqslant t\leqslant 8{\small.}}\) 

VI. Ескі айнымалыға оралайық.

 \(\displaystyle x{\small }\) айнымалысына оралайық. Бізде  \(\displaystyle t=2^x{\small .}\)

Сонда:

\(\displaystyle \color{Blue}{-3\leqslant 2^x\leqslant 1}\) немесе \(\displaystyle \color{Blue}{4\leqslant 2^x\leqslant 8{\small.}}\)

Әрбір теңсіздікті шешейік

\(\displaystyle \color{Blue}{-3\leqslant2^x\leqslant 1}\) теңсіздіктің шешімі \(\displaystyle \color{Blue}{(-\infty;0] {\small }}\) аралығы болып табылады

Қос теңсіздікті теңсіздіктер жүйесі түрінде жазайық:

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}2^x& \geqslant-3,\\[5px]2^x& \leqslant \,1.\\\end{array}\right.\)

Жүйенің әрбір теңсіздігін шешіп, алынған шешімдер жиынының қиылысын табамыз.

  • Бірінші теңсіздікті шешейік: \(\displaystyle 2^x \geqslant-3{\small .}\)

 \(\displaystyle y=2^x\) көрсеткіштік функциясы тек оң мәндерді қабылдайды, сондықтан \(\displaystyle {2^x \geqslant-3}{\small}\) теңсіздігі \(\displaystyle x{\small }\) айнымалысының кез-келген нақты мәндерінде орындалады

Яғни, бірінші теңсіздіктің шешімі  \(\displaystyle (-\infty;+\infty){\small }\) аралығы болып табылады

  • Екінші теңсіздікті шешейік: \(\displaystyle 2^x \leqslant 1{\small .}\)

\(\displaystyle 2^x \leqslant 1\Leftrightarrow 2^x \leqslant 2^0{\small .}\)

Дәреженің негізі \(\displaystyle 2>1{\small,}\) болғандықтан, теңсіздіктерге көшкен кезде көрсеткіштерде теңсіздік белгілері өзгермейді.

Төмендегіні аламыз: \(\displaystyle x \leqslant 0{\small. } \)

Яғни, бұл теңсіздіктің шешімі  \(\displaystyle (-\infty;0]{\small }\) аралық болып табылады

  • Алынған  \(\displaystyle (-\infty;+\infty)\) және \(\displaystyle (-\infty;0]\) аралықтарының қиылысы \(\displaystyle (-\infty;0]{\small }\) болып табылады

\(\displaystyle \color{Blue}{4\leqslant2^x\leqslant 8}\) теңсіздіктің шешімі \(\displaystyle \color{Blue}{[2;3] {\small }}\) аралығы болып табылады

Қос теңсіздікті теңсіздіктер жүйесі түрінде жазайық:

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}2^x& \geqslant4,\\[5px]2^x& \leqslant \,8.\\\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcl}2^x& \geqslant2^2,\\[5px]2^x& \leqslant \,2^3.\\\end{array}\right.\)

Дәреженің негізі \(\displaystyle 2>1{\small,}\) болғандықтан, теңсіздіктерге көшкен кезде көрсеткіштерде теңсіздік белгілері өзгермейді.

Төмендегіні аламыз

\(\displaystyle\left\{\begin{array}{rcl}x& \geqslant2,\\[5px]x& \leqslant \,3.\\\end{array}\right.\)

Яғни, берілген қос теңсіздіктің шешімі  \(\displaystyle [2;3]{\small }\) аралығы болып табылады

Бастапқы теңсіздіктің шешімі табылған бос аралықтарды біріктіру болып табылады

\(\displaystyle \color{Blue}{(-\infty ;0] \cup [2;3]{\small. }} \)

Жауабы: \(\displaystyle x\in (-\infty ;0]{\small } \cup [2;3]{\small. } \)