Теңдеуді шешіңіз (егер түбірлер екі немесе одан да көп болса, жауабында олардың ең кішісін жазыңыз):
\(\displaystyle 7^{\log_{343}(5x+2)}=4{\small .}\)
Жарамды мәндер ауқымы (ЖМА):
\(\displaystyle 5x+2>0{\small ,}\) яғни \(\displaystyle x>-\frac{2}{5}{\small .}\)
\(\displaystyle 343=7^3\) болғандықтан, онда
\(\displaystyle \log_{343}(5x+2)=\log_{7^\color{red}{3}}(5x+2)=\color{red}{\frac{1}{3}}\log_7(5x+2)=\log_7(5x+2)^\color{red}{\frac{1}{3}}{\small .}\)
Сонда
\(\displaystyle 7^{\log_{343}(5x+2)}=7^{\log_7(5x+2)^\frac{1}{3}}=(5x+2)^\frac{1}{3}{\small .}\)
Осылайша,
\(\displaystyle 7^{\log_{343}(5x+2)}=4{\small ,}\)
\(\displaystyle (5x+2)^\frac{1}{3}=4{\small ,}\)
\(\displaystyle \sqrt[3]{5x+2}=4{\small .}\)
Екі бөлікті де үшінші дәрежеге дәрежелейік:
\(\displaystyle \color{magenta}{(}\sqrt[3]{5x+2}\color{magenta}{)^3}=4\color{magenta}{^3}{\small ,}\)
\(\displaystyle 5x+2=4\color{magenta}{^3}{\small .}\)
\(\displaystyle 5x+2=4^3\) болғандықтан, онда \(\displaystyle 5x+2>0\) және, демек, теңдеудің шешімі ЖМА қанағаттандырады.
Берілген теңдеуді шешейік:
\(\displaystyle 5x+2=64{\small ,}\)
\(\displaystyle 5x=64-2{\small ,}\)
\(\displaystyle 5x=62{\small ,}\)
\(\displaystyle x=\frac{62}{5}{\small ,}\)
\(\displaystyle x=12{,}4{\small .}\)
Жауабы: \(\displaystyle x=12{,}4{\small .} \)