Өрнектің мәнін табыңыз:
\(\displaystyle \log_5 75-\frac{1}{2} \log_5 9= \)
Бұл өрнек – айырма, логарифмдердің негіздері бірдей.
Алайда, екінші логарифмнің алдында көбейткіш бар-бұл логарифмдер айырмасының қасиетін бірден қолдануға мүмкіндік бермейді.
Бұл көбейткішті дәреже логарифмінің қасиетін қолдана отырып, логарифмнің астына кіргізейік:
\(\displaystyle \log_a b^{\color{red}k}=\color{red}k \log_a b\)
немесе
\(\displaystyle \color{red}k \log_a b=\log_a b^{\color{red}k}\)
\(\displaystyle (b>0, a>0,a \, \cancel= \,1 )\)
Төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle \color{red}{\frac{1}{2}} \log_5 9=\log_5 9^{\color{red}{\frac{1}{2}}} {\small.}\)
Алынған логарифмді ықшамдайық:
\(\displaystyle 9^{\frac{1}{2}}=\sqrt 9 =3{\small,}\)
\(\displaystyle \log_5 9^{\frac{1}{2}}=\log_5 3{\small.}\)
Сонда
\(\displaystyle \log_5 75-\frac{1}{2} \log_5 9=\log_5 75- \log_5 3 {\small.} \)
Логарифмдер айырмасының қасиетін қолданамыз:
\(\displaystyle \log_{\color{red}{a}} \color{blue}b-\log_{\color{red}{a}} \color{blue}c=\log_\color{red}a \frac{\color{blue}b} {\color{blue}c} \)
\(\displaystyle (b>0, c>0,a>0,a \, \cancel= \,1 )\)
Демек,
\(\displaystyle \log_5 75- \log_5 3=\log_5 \frac{75}{3}{\small.}\)
Алынған логарифмнің мәнін табайық:
\(\displaystyle \log_5 \frac{75}{3}=\log_5 25=2{\small .}\)
Осылайша, келесі теңдік тізбегі дұрыс:
\(\displaystyle \log_5 75-\frac{1}{2} \log_5 9=\log_5 75- \log_5 3=\log_5 \frac{75}{3}=\log_5 25=2 {\small .}\)
Жауабы: \(\displaystyle 2 {\small.} \)