На рисунке изображен график функции \(\displaystyle y=f(x){\small .}\) Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой \(\displaystyle 8{\small .}\) Найдите \(\displaystyle f '(8){\small .}\)
Значение производной в точке \(\displaystyle x_0\) равно \(\displaystyle \tg({\alpha}){ \small ,}\) где \(\displaystyle {\alpha}\) – угол наклона касательной в соответствующей точке на кривой \(\displaystyle y=f(x){\small .}\) Проведем касательную через точку графика с абсциссой \(\displaystyle 8{\small.}\) По условию она проходит через точку начала координат. Получаем, что \(\displaystyle f^{\prime}(8)=\tg \color{red}{\alpha}{\small.}\) |  |
Касательная, ось абсцисс и вертикальная прямая, проходящая через точку касания графика, образуют прямоугольный треугольник. Назовем его вершины \(\displaystyle M{\small,}\) \(\displaystyle N{\small,}\) \(\displaystyle O\small.\) Найдем длину катетов: \(\displaystyle \color{blue}{MN}=\color{blue}{10}\) и \(\displaystyle \color{#009900}{NO}=\color{#009900}{8}{\small.}\) Тангенс угла \(\displaystyle \color{red}{\alpha}\) равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \(\displaystyle \tg \color{red}{\alpha}=\frac{\color{blue}{MN}}{\color{#009900}{NO}}=\frac{\color{blue}{10}}{\color{#009900}{8}}=1{,}25{\small.}\) |  |
Таким образом, получаем:
\(\displaystyle f^{\prime}(8)=\tg\color{red}{\alpha}=1{,}25{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 1{,}25{\small.}\)