Материалдық нүкте заңға сәйкес \(\displaystyle x(t) = \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 -43t + 4 \) түзу сызықты қозғалады (мұндағы\(\displaystyle x \) — тірек нүктесінен метрдегі қашықтық, \(\displaystyle t \) —секундпен уақыт. қозғалыстың басынан бастап өлшенеді) . Уақыттың қай нүктесінде (секундпен) оның жылдамдығы \(\displaystyle 2\)м/с тең болды?
Шарт бойынша \(\displaystyle x(t)= \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 -43t + 4{\small.}\)
Жылдамдық – қашықтықтың \(\displaystyle x(t)\) уақытқа \(\displaystyle t{\small}\) қатысты туындысы:
\(\displaystyle \begin{aligned}&x^{\prime}(t)=\left( \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 -43t + 4\right)^{\prime}=\left( \frac{1}{3}t^3\right)^{\prime}-\left(2t^2\right)^{\prime}-(43t)^{\prime}+(4)^{\prime}=\\[10px]&=\left(\frac{1}{3}\right)\left(t^3\right)^{\prime}-2\left(t^2\right)^{\prime}-43(t)^{\prime}+(4)^{\prime}=\frac{1}{3}\cdot3t^2-2\cdot2t-43\cdot1+0=t^2-4t-43{\small.}\end{aligned}\)
Осылайша, жылдамдық функциясының түрі бар
\(\displaystyle x^{\prime}(t)=t^2-4t-43{\small.}\)
Жылдамдық \(\displaystyle \color{blue}{2}\)м/с тең болатын уақыт моментін табу керек. Яғни, қай \(\displaystyle t\) \(\displaystyle x^{\prime}(t)=\color{blue}{2}{\small }\) үшін табыңыз.
\(\displaystyle x^{\prime}(t)=t^2-4t-43{\small}\) болғандықтан \(\displaystyle t^2-4t-43=2{\small}\) теңдеуді шешу керек.
Яғни, материалдық нүктенің жылдамдығы \(\displaystyle 2\)м/с \(\displaystyle t_1=9\)c аралығында болады.
Жауабы: \(\displaystyle 9\)с.