Материальная точка движется прямолинейно по закону \(\displaystyle x(t) = -3t^4 + 6t^3 + 7t + 3{\small,} \) где \(\displaystyle x\) — расстояние от точки отсчета в метрах, \(\displaystyle t\) — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени \(\displaystyle t = 1 \)с.
По условию \(\displaystyle x(t)= -3t^4 + 6t^3 + 7t + 3{\small.}\)
Скорость – это производная от расстояния \(\displaystyle x(t)\) по времени \(\displaystyle t{\small:}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}&x^{\prime}(t)=\left( -3t^4 + 6t^3 + 7t + 3\right)^{\prime}=\left(-3t^4\right)^{\prime}+\left(6t^3\right)^{\prime}+(7t )^{\prime}+(3)^{\prime}=\\[5px]&=-3\left(t^4\right)^{\prime}+6\cdot\left(t^3\right)^{\prime}+7\cdot(t)^{\prime}+(3)^{\prime}=-3\cdot4t^3+6\cdot3t^2+7\cdot1=-12t^3+18t^2+7{\small.}\end{aligned}\)
Таким образом, функция скорости имеет вид
\(\displaystyle x^{\prime}(t)=-12t^3+18t^2+7{\small.}\)
Требуется найти скорость в момент времени \(\displaystyle \color{blue}{t=1}\)c:
\(\displaystyle x^{\prime}(\color{blue}{1})=-12\cdot\color{blue}{1}^3+18\cdot\color{blue}{1}^2+7=-12+18+7=13\)м/с.
Ответ: \(\displaystyle 13\)м/с.