Уравнение
\(\displaystyle \frac{1}{\sin^2(x)}+\frac{1}{\sin(x)}-2=0\)
равносильно двум элементарным тригонометрическим уравнениям:
\(\displaystyle \sin(x)=1\) или \(\displaystyle \sin(x)=-\frac{1}{2}{\small.}\)
Все тригонометрические функции в уравнении – это \(\displaystyle \sin(x){\small.}\)
А еще степени \(\displaystyle \sin(x)\) являются знаменателями дробей.
Тогда удобно сделать замену \(\displaystyle y=\frac{1}{\sin(x)}{\small,}\) получаем:
\(\displaystyle \left(\frac{1}{\sin(x)}\right)^2+\frac{1}{\sin(x)}-2=0{\small,}\)
\(\displaystyle y^2+y-2=0{\small.}\)
Получили квадратное уравнение. Решим его.
\(\displaystyle y_1=1\) и \(\displaystyle y_2=-2\)
Дискриминант уравнения:
\(\displaystyle {\rm D}=1^2-4\cdot(-2)=1+8=9\)
и
\(\displaystyle {\rm \sqrt{D}}=\sqrt{9}=3{\small.}\)
Тогда корни равны:
\(\displaystyle y_1=\frac{-1+3}{2}=1{\small,}\)
\(\displaystyle y_2=\frac{-1-3}{2}=-2{\small.}\)
Поскольку \(\displaystyle y=\frac{1}{\sin(x)}{\small,}\) то
\(\displaystyle \frac{1}{\sin(x)}=1\) или \(\displaystyle \frac{1}{\sin(x)}=-2{\small.}\)
Значит, получаем два элементарных тригонометрических уравнения:
\(\displaystyle \sin(x)=1\) или \(\displaystyle \sin(x)=-\frac{1}{2}{\small.}\)